Desenhe as curvas de nível da função f f(x, y) = x^2 - y/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar as curvas de nível da função . As curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função é igual a uma constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma curva que representa todos os pontos onde .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, vamos fixar um valor constante e resolver a equação:
Substituindo pela expressão dada:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para em termos de e , para facilitar o desenho da curva:
Primeiro, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Essa é a equação das curvas de nível em função de e da constante .

Passo 5

Para desenhar as curvas de nível, podemos escolher diferentes valores de e plotar suas respectivas equações:
Cada valor de dará uma curva diferente. Por exemplo:
  • Se , a curva é .
  • Se , a curva é .
  • Se , a curva é .
Ao plotar essas curvas no plano , observamos que elas são curvas cúbicas que se distanciam ou se aproximam dependendo do valor de .

Resposta

As curvas de nível da função são dadas por:
onde é uma constante que determina cada curva específica no plano .

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