Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar as curvas de nível da função
. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
é igual a uma constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma curva que representa todos os pontos onde
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, vamos fixar um valor constante
e resolver a equação:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
e
, para facilitar o desenho da curva:
Primeiro, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Essa é a equação das curvas de nível em função de
e da constante
.
Passo 5
Para desenhar as curvas de nível, podemos escolher diferentes valores de
e plotar suas respectivas equações:
Cada valor de
dará uma curva diferente. Por exemplo:
- Se
, a curva é . - Se
, a curva é . - Se
, a curva é .
Ao plotar essas curvas no plano
, observamos que elas são curvas cúbicas que se distanciam ou se aproximam dependendo do valor de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas por:
onde
é uma constante que determina cada curva específica no plano
.