Seja a série de potências f(x)=sumn=0^infty n(x+1)^n5^n, determine o raio e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências e precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se o limite for menor que 1, a série converge. Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular an+1 = (n+1)(x+1)^n+15^n+1 :
an+1an = (n+1)(x+1)^n+15^n+1 cdot 5^nn(x+1)^n = (n+1)(x+1)5n
Agora, vamos montar a razão :

Passo 4

Simplificando a expressão:
| an+1an | = | (n+1)n cdot (x+1)5 | = (1 + 1n) cdot | x+15 |
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (1 + 1n) cdot | x+15 | = 1 cdot | x+15 | = | x+15 | tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que | x+15 | < 1 :
-1 < x+15 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
-5 < x + 1 < 5
Multiplicando todos os lados por 5:
-6 < x < 4
Subtraindo 1:

Passo 6

O raio de convergência R = 102 = 5 é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Aqui, o intervalo vai de -6 a 4, que tem comprimento 10. Então:

Resposta

O raio de convergência da série é 5 e o intervalo de convergência é .

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