Seja a série de potências , determine o raio e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências e precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se o limite for menor que 1, a série converge. Aqui, .
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (1 + 1n) cdot | x+15 | = 1 cdot | x+15 | = | x+15 | tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que | x+15 | < 1 :
-1 < x+15 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
-5 < x + 1 < 5
Multiplicando todos os lados por 5:
-6 < x < 4
Subtraindo 1:
Passo 6
O raio de convergência R = 102 = 5 é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Aqui, o intervalo vai de -6 a 4, que tem comprimento 10. Então:
Resposta
O raio de convergência da série é 5 e o intervalo de convergência é .