Desenhe as curvas de nível da função f f(x, y) = (1 - x^2) / y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as curvas de nível da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume valores constantes. Ou seja, para cada valor constante , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Então, vamos começar definindo . Isso nos dá a equação:
Nosso objetivo é resolver essa equação para em função de (ou vice-versa) para encontrar a expressão das curvas de nível.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar o denominador, temos:
Agora, vamos isolar :

Passo 5

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa expressão nos mostra que, para cada valor de , temos uma curva que depende de e .

Passo 6

Vamos analisar diferentes casos para :
  1. Se :
    • A expressão sob a raiz deve ser positiva, então , ou seja, .
    • As curvas serão elipses abertas verticalmente.
  2. Se :
    • A expressão sob a raiz também precisa ser positiva, então , ou seja, .
    • As curvas serão hipérbolas.
  3. Se :
    • A equação se torna , ou seja, .
    • As curvas são linhas verticais em e .

Passo 7

Resumindo, as curvas de nível para a função são:
  • Elipses verticalmente abertas para .
  • Hipérbolas para .
  • Linhas verticais em e quando .

Resposta

As curvas de nível da função são elipses para , hipérbolas para e as linhas verticais e quando .

Exercícios relacionados