Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as curvas de nível da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume valores constantes. Ou seja, para cada valor constante
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Então, vamos começar definindo
. Isso nos dá a equação:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em função de
(ou vice-versa) para encontrar a expressão das curvas de nível.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador, temos:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa expressão nos mostra que, para cada valor de
, temos uma curva que depende de
e
.
Passo 6
Vamos analisar diferentes casos para
:
-
Se
: - A expressão sob a raiz deve ser positiva, então
, ou seja, . - As curvas serão elipses abertas verticalmente.
- A expressão sob a raiz deve ser positiva, então
-
Se
: - A expressão sob a raiz também precisa ser positiva, então
, ou seja, . - As curvas serão hipérbolas.
- A expressão sob a raiz também precisa ser positiva, então
-
Se
: - A equação se torna
, ou seja, . - As curvas são linhas verticais em
e .
- A equação se torna
Passo 7
Resumindo, as curvas de nível para a função
são:
- Elipses verticalmente abertas para
. - Hipérbolas para
. - Linhas verticais em
e quando .
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses para
, hipérbolas para
e as linhas verticais
e
quando
.