Questão: Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:
Se
e
são funções ímpares, então a derivada
da função composta
será ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções ímpares e define
Precisamos investigar a paridade de
. Lembrando que uma função
é ímpar se
para todo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que a derivada de uma função ímpar é sempre par. De fato, seja
ímpar, ou seja,
Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando a regra da cadeia no lado esquerdo, obtemos
o que mostra que
é par. Em particular, como
e
são ímpares, suas derivadas
e
são pares.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia a
, temos
Agora calculemos
:
onde usamos que
, que
é par e que
é par. Assim
, ou seja,
é par, não ímpar.
Resposta
Falsa.