4^{\underline{a}} Questão: Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:
Se f e g são funções ímpares, então a derivada h^{\prime}(x) da função composta h(x)= f(g(x))) será ímpar.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções ímpares e define
h(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Precisamos investigar a paridade de h'(x). Lembrando que uma função u é ímpar se
u(-x)=-u(x)
para todo x.

Passo 2

Mostramos primeiro que a derivada de uma função ímpar é sempre par. De fato, seja u ímpar, ou seja,
u(-t)=-u(t).
Diferenciando ambos os lados em relação a t e usando a regra da cadeia no lado esquerdo, obtemos
u'(-t)\cdot(-1)=-u'(t) \quad\Longrightarrow\quad u'(-t)=u'(t),
o que mostra que u' é par. Em particular, como f e g são ímpares, suas derivadas f' e g' são pares.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia a h, temos
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Agora calculemos h'(-x):
h'(-x) =f'\bigl(g(-x)\bigr)\,g'(-x) =f'\bigl(-g(x)\bigr)\,g'(x) =f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) =h'(x),
onde usamos que g(-x)=-g(x), que f' é par e que g' é par. Assim h'(-x)=h'(x), ou seja, h' é par, não ímpar.

Resposta

Falsa.

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