Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.
integral raizx cdot sen^2(x^3 / 2-1) d x, u=x^3 / 2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para calcular a integral de raizx cdot sin^2(x^3 / 2-1) em relação a x, usando a substituição u = x^3 / 2 - 1. Vamos usar conceitos de substituição em integrais e identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: u = x^3 / 2 - 1. Precisamos encontrar du em termos de dx para substituir na integral.
Derivando u em relação a x:
du = ddx(x^3 / 2 - 1) dx = 32x^1/2 dx

Passo 3

Agora, vamos isolar x^1/2 dx na expressão de du:
x^1/2 dx = 23 du

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral raizx cdot sin^2(x^3 / 2-1) dx = integral sin^2(u) cdot 23 du = 23 integral sin^2(u) du

Passo 5

Agora, precisamos integrar sin^2(u). Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Então, a integral fica:
23 integral 1 - cos(2u)2 du = 23 cdot 12 integral (1 - cos(2u)) du = 13 integral (1 - cos(2u)) du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
13 integral 1 , du - 13 integral cos(2u) , du = 13 u - 13 cdot sin(2u)2 + C = u3 - sin(2u)6 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = x^3 / 2 - 1:
u3 - sin(2u)6 + C = x^3 / 2 - 13 - sin(2(x^3 / 2 - 1))6 + C

Resposta

A integral indefinida é igual a:
x^3 / 2 - 13 - sin(2(x^3 / 2 - 1))6 + C

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