integral0^1 xe^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 xe^x^2,dx
O conteúdo envolve integração por substituição em funções exponenciais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável clássica para lidar com e^x^2. Seja
u = x^2,
então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Os limites mudam assim: quando x=0, u=0; quando x=1, u=1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, temos
integral0^1 xe^x^2,dx = integralu=0^1 1e^u;du2 = 12integral0^1 e^-u,du

Passo 4

Agora basta integrar o exponencial:
integral0^1 e^-u,du = l[-e^-ur]0^1 = -e^-1 -l(-e^0r) = 1 - e^-1
Multiplicando por tfrac12, obtemos
12l(1 - e^-1r)

Resposta

1 - e^-12

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