Usando diferencial, encontre um valor aproximado para as seguintes expressões:
(1,001)^3,02 (resp.: 1,003 ).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar (1,001)^3,02 usando diferencial (ou seja, linearização). O conteúdo principal aqui é cálculo de derivada e uso da aproximação
f(a+De<a x)approx f(a)+f'(a),De<a x

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^3,02
e escolhemos o ponto de referência a=1, pois 1,001 está bem próximo de 1. Assim,
De<a x = 1,001 - 1 = 0,001

Passo 3

Calculamos f(1) e a derivada f'(x):
f(1) = 1^3,02 = 1,
f'(x) = 3,02,x^2,02 Longrightarrow f'(1) = 3,02 cdot 1^2,02 = 3,02

Passo 4

O diferencial é
d f = f'(1),De<a x = 3,02 times 0,001 = 0,00302
Logo
f(1,001)approx f(1)+ d f = 1 + 0,00302 = 1,00302

Passo 5

Arredondando para três casas decimais, obtemos
(1,001)^3,02 approx 1,003

Resposta

1,003

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