Resolva a equação diferencial usando a substituição dada ou alguma outra que achar apropriadan:
x e^2 y d yd x+e^2 y=ln xx, u=e^2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,e^2y,dydx+e^2y=ln xx
usando a substituição sugerida u=e^2y. O conteúdo envolvido é transformar a ODE num problema linear em u(x) e depois aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Definimos
u = e^2y
e, derivando em relação a x,
dudx = 2,e^2y,dydx = 2,u,dydx Longrightarrow dydx = 12u,dudx

Passo 3

Substituindo dydx e e^2y=u na ODE original:
x,ucdot12u,dudx + u = ln xx Longrightarrow x2,dudx + u = ln xx
Multiplicando tudo por 2:
x,dudx + 2,u = 2ln xx

Passo 4

Colocamos no formato padrão de equação linear:
dudx + 2x,u = 2ln xx^2

Passo 5

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral tfrac2x,dxr) = exp(2ln x) = x^2
Multiplicando a ODE por x^2 obtemos
x^2dudx + 2x,u = 2ln x Longrightarrow ddxl(x^2,ur) = 2ln x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2,u = integral 2ln x,dx = 2l(xln x - xr) + C = 2xln x - 2x + C

Passo 7

Voltando a u=e^2y:
e^2y = u = 2xln x - 2x + Cx^2 = 2(ln x -1)x + Cx^2

Passo 8

Se quisermos isolar y, basta aplicar logaritmo:
2y = ln!l(2(ln x -1)x + Cx^2r) Longrightarrow y = tfrac12ln!l(2(ln x -1)x + Cx^2r)

Resposta

A solução geral é
e^2y = 2(ln x -1)x + Cx^2,
ou, equivalentemente,
y = tfrac12ln!l(2(ln x -1)x + Cx^2r)

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