Seja
uma curva no plano definida, parametricamente, por
, com
. Suponha que
e
são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em
e que a curva
é percorrida exatamente uma vez quando
avança de
para
. Nessas condições, o comprimento de
é dado pela integral definida
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva no plano, que está definida pelas funções paramétricas
e
, para
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas de
e
, e depois integrar a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas derivadas no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Isso é importante porque a fórmula do comprimento da curva depende dessas derivadas.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Como estamos integrando no intervalo de
a
,
pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto garante que o integrando seja sempre positivo.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Podemos usar a identidade
, então
:
Passo 7
Sabemos que
, porque a integral do valor absoluto do seno em um período completo é 4. Então:
Resposta
O comprimento da curva é igual a
unidades.