Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a <= t <= b. Suponha que x^prime e y^prime são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em [a, b] e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t=a para t=b. Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida
L=integrala^b raizx^prime(t)^2+y^prime(t)^2 d t
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
x(t)=cos ^3(t), y(t)=sen^3(t), para 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva no plano, que está definida pelas funções paramétricas x(t) = cos^3(t) e y(t) = sin^3(t) , para t de 0 a 2pi . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular as derivadas de x(t) e y(t) , e depois integrar a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas derivadas no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t . Isso é importante porque a fórmula do comprimento da curva depende dessas derivadas.
Para x(t) = cos^3(t) :
x'(t) = ddt [cos^3(t)] = 3cos^2(t) cdot (-sin(t)) = -3cos^2(t)sin(t)
Para y(t) = sin^3(t) :
y'(t) = ddt [sin^3(t)] = 3sin^2(t) cdot cos(t) = 3sin^2(t)cos(t)

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
L = integral0^2pi raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 , dt
Substituindo x'(t) e y'(t) :
L = integral0^2pi raiz[-3cos^2(t)sin(t)]^2 + [3sin^2(t)cos(t)]^2 , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
[-3cos^2(t)sin(t)]^2 + [3sin^2(t)cos(t)]^2 = 9cos^4(t)sin^2(t) + 9sin^4(t)cos^2(t)
Fatorando 9cos^2(t)sin^2(t) :
9cos^2(t)sin^2(t) [cos^2(t) + sin^2(t)]
Sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1 , então:
9cos^2(t)sin^2(t)

Passo 5

Agora, a integral fica:
L = integral0^2pi raiz9cos^2(t)sin^2(t) , dt = integral0^2pi 3|cos(t)sin(t)| , dt
Como estamos integrando no intervalo de 0 a 2pi , cos(t)sin(t) pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto garante que o integrando seja sempre positivo.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
L = 3 integral0^2pi |cos(t)sin(t)| , dt
Podemos usar a identidade 2cos(t)sin(t) = sin(2t) , então |cos(t)sin(t)| = 12|sin(2t)| :
L = 3 cdot 12 integral0^2pi |sin(2t)| , dt = 32 integral0^2pi |sin(2t)| , dt

Passo 7

Sabemos que integral0^2pi |sin(2t)| , dt = 4 , porque a integral do valor absoluto do seno em um período completo é 4. Então:
L = 32 cdot 4 = 6

Resposta

O comprimento da curva é igual a 6 unidades.

Exercícios relacionados