Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.
\int x\left(2-x^{2}\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx
usando substituição. O conteúdo aqui é a técnica de substituição (ou mudança de variável), já que o fator x\,dx aparece junto com a função composta (2 - x^{2})^{3}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2 - x^{2}.
Assim, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, o termo (2 - x^{2})^{3} vira u^{3} e x\,dx vira -\tfrac{1}{2}\,du. Logo,
\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx = \int u^{3}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Portanto
-\tfrac{1}{2}\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{2}\,\frac{u^{4}}{4} = -\frac{u^{4}}{8} + C.

Passo 5

Revertendo para x, lembrando que u = 2 - x^{2}, obtemos
-\frac{u^{4}}{8} + C = -\frac{\bigl(2 - x^{2}\bigr)^{4}}{8} + C.

Resposta

\int x\,(2 - x^{2})^{3}\,dx = -\frac{\bigl(2 - x^{2}\bigr)^{4}}{8} + C.

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