Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(a^21-a^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral a^21 - a^2x,dx usando substituição. Vamos usar a técnica de trocar a parte complicada por uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 - a^2x. Então derivando em relação a x temos du = -a^2,dx, ou seja, dx = du-a^2.

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador a^2 cancela com o -a^2 do dx:
integral a^21 - a^2x,dx = integral a^2u cdot du-a^2 = integral l(-1ur),du

Passo 4

Agora integramos -1/u) em relação a u. Sabemos que integral 1u,du = ln|u| + C, então
integral l(-1ur),du = -ln|u| + C

Passo 5

Por fim retornamos à variável original x, lembrando que u = 1 - a^2x. Assim a resposta é
-lnl|1 - a^2xr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|1 - a^{2}x\bigr| + C

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