(1,5 pontos) Em qual ponto do paraboloide
o plano tangente é paralelo ao plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui está perguntando: Em qual ponto do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ o plano tangente é paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $?
Então, estamos lidando com geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente com planos tangentes e paralelismo entre planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto qualquer e como determinar quando dois planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como achar o plano tangente a um paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ em um ponto qualquer $ (x_0, y_0, z_0) $.
A fórmula geral do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $:
Essas derivadas nos dizem como a superfície está inclinada nas direções $ x $ e $ y $.
Passo 4
Agora, substituindo essas derivadas na fórmula do plano tangente:
Vamos simplificar isso:
Como $ z_0 = x_0^{2} + y_0^{2} $ (porque $ (x_0, y_0, z_0) $ está no paraboloide), substituindo:
Passo 5
Queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $.
Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais. O vetor normal do plano tangente que encontramos é $ (2x_0, 2y_0, -1) $, e o vetor normal do plano dado é $ (-2, 4, 3) $.
Então, devemos ter:
Onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.
Passo 6
Vamos igualar os componentes:
Vamos resolver a equação (3) para encontrar $ k $:
Passo 7
Agora, substituímos $ k = -\frac{1}{3} $ nas equações (1) e (2):
Da equação (1):
Da equação (2):
Passo 8
Agora que temos $ x_0 $ e $ y_0 $, podemos encontrar $ z_0 $ usando a equação do paraboloide:
Resposta
O ponto no paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ onde o plano tangente é paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $ é $ \left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{9} \right) $.