(1,5 pontos) Em qual ponto do paraboloide z=x^2+y^2 o plano tangente é paralelo ao plano -2 x+4 y+3 z=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui está perguntando: Em qual ponto do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ o plano tangente é paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $?
Então, estamos lidando com geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente com planos tangentes e paralelismo entre planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto qualquer e como determinar quando dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como achar o plano tangente a um paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ em um ponto qualquer $ (x_0, y_0, z_0) $.
A fórmula geral do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
z = x^2 + y^2
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $:
f(x, y) = x^2 + y^2
fx = partial fpartial x = 2x
Essas derivadas nos dizem como a superfície está inclinada nas direções $ x $ e $ y $.

Passo 4

Agora, substituindo essas derivadas na fórmula do plano tangente:
z = z0 + 2x0 (x - x0) + 2y0 (y - y0)
Vamos simplificar isso:
z = z0 + 2x0 x - 2x0^2 + 2y0 y - 2y0^2
Como $ z_0 = x_0^{2} + y_0^{2} $ (porque $ (x_0, y_0, z_0) $ está no paraboloide), substituindo:
z0 = x0^2 + y0^2
(x0, y0, z0)

Passo 5

Queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $.
Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais. O vetor normal do plano tangente que encontramos é $ (2x_0, 2y_0, -1) $, e o vetor normal do plano dado é $ (-2, 4, 3) $.
Então, devemos ter:
-2x + 4y + 3z = 1
Onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.

Passo 6

Vamos igualar os componentes:
2x0 = -2k (1)
2y0 = 4k (2)
-1 = 3k (3)
Vamos resolver a equação (3) para encontrar $ k $:
k

Passo 7

Agora, substituímos $ k = -\frac{1}{3} $ nas equações (1) e (2):
Da equação (1):
k = -13
Da equação (2):
2x0 = -2 ( -13 ) implies 2x0 = 23 implies x0 = 13

Passo 8

Agora que temos $ x_0 $ e $ y_0 $, podemos encontrar $ z_0 $ usando a equação do paraboloide:
x0

Resposta

O ponto no paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ onde o plano tangente é paralelo ao plano $ -2x + 4y + 3z = 1 $ é $ \left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{9} \right) $.

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