Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
usando a técnica de substituição.
Passo 2
Vamos escolher a substituição que simplifica o denominador. Definimos
Diferenciando em relação a
:
o que dá
$$d\nu = 10 e^{5x},dx \quad\Longrightarrow\quad e^{5x},dx = \frac{d\nu}{10}.
$$
Passo 3
Agora reescrevemos a integral original em termos de
. Observando que há um fator
, podemos separar assim:
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Agora integramos
. Lembrando que
para
, aqui
:
Passo 5
Por fim, voltamos à variável
usando
. A solução é
Resposta
-\nfrac{1}{6\bigl(1+2 e{5x}\bigr){3}} + C