Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(5 e^5 x(1+2 e^5 x)^4) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral 5 e^5x(1+2 e^5x)^4,dx usando a técnica de substituição.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que simplifica o denominador. Definimos
u = 1 + 2 e^5x
Diferenciando em relação a x:
dnudx = 2 cdot 5 e^5x = 10 e^5x,
o que dá
$$d\nu = 10 e^{5x},dx \quad\Longrightarrow\quad e^{5x},dx = \frac{d\nu}{10}.
$$

Passo 3

Agora reescrevemos a integral original em termos de nu. Observando que há um fator 5 e^5x,dx, podemos separar assim:
integral 5 e^5x(1+2 e^5x)^4,dx = 5 integral e^5x,dxnu^4
Substituindo e^5x,dx = dnu/10 e nu = 1+2 e^5x obtemos
5 integral 1nu^4 cdot dnu10 = 12 integral nu^-4 ,dnu

Passo 4

Agora integramos 12 integral nu^-4 ,dnu. Lembrando que integral nu^n,dnu = nu^n+1/(n+1) para nneq -1, aqui n=-4:
12 integral nu^-4 ,dnu = 12 cdot nu^-3-3 = -16 nu^-3 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando nu = 1+2 e^5x. A solução é
-16l(1+2 e^5xr)^-3 + C

Resposta

-\nfrac{1}{6\bigl(1+2 e{5x}\bigr){3}} + C

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