Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(2-x) cdot e^(x^2-4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral(2-x)e^x^2-4x,dx usando substituição, que é uma técnica para transformar a integral numa forma mais simples, geralmente trocando a expressão complicada por uma nova variável u.

Passo 2

Vamos fazer a substituição escolhendo o expoente da exponencial como nova variável:
u = x^2 - 4x
Diferenciando, obtemos
du = (2x - 4),dx

Passo 3

Repare que o fator 2-x aparece no integrando, e podemos escrever
2-x = -(x-2)
e como du = 2(x-2),dx, temos
(x-2),dx = tfrac12,du
portanto
(2-x),dx = -tfrac12,du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, fica
integral(2-x)e^x^2-4x,dx = integral l(-tfrac12,dur)e^u = -tfrac12 integral e^u,du
Agora integramos facilmente:
-tfrac12 integral e^u,du = -tfrac12 e^u + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^2 - 4x. Assim, a integral vale
-tfrac12 e^x^2 - 4x + C

Resposta

-\tfrac{1}{2}e{x2-4x} + C

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