Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando a técnica de substituição. Vamos aplicar conceitos básicos de mudança de variável para simplificar o integrando.
Passo 2
Identificamos que dentro do denominador temos
cuja derivada (em parte) aparece no numerador. Faz sentido tomar a substituição
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos
, ou seja,
. Então podemos isolar
: como
, segue que
.
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
:
Agora integramos em
Por fim, voltamos à variável original usando
. Assim obtemos a resposta final.
Resposta
-\tfrac12 \ln\lvert1 + 2x^2\rvert + C