Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(-2 x1+2 x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral -2x1+2x^2,dx usando a técnica de substituição. Vamos aplicar conceitos básicos de mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Identificamos que dentro do denominador temos 1+2x^2 cuja derivada (em parte) aparece no numerador. Faz sentido tomar a substituição u = 1 + 2x^2.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos dfracdudx = 4x, ou seja, du = 4x,dx. Então podemos isolar -2x,dx: como x,dx = tfrac14du, segue que -2x,dx = -2 cdot tfrac14du = -tfrac12,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral -2x1+2x^2,dx = integral -tfrac12,duu = -tfrac12 integral duu
Agora integramos em u. Sabendo que integral duu = ln|u| + C, temos:
-tfrac12 integral duu = -tfrac12 ln|u| + C
Por fim, voltamos à variável original usando u = 1 + 2x^2. Assim obtemos a resposta final.

Resposta

-\tfrac12 \ln\lvert1 + 2x^2\rvert + C

Exercícios relacionados