Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x^3+x^2x,(2+x^2),(x-1),dx
usando a técnica de frações parciais e depois verificar o resultado por diferenciação. Vamos trabalhar com integrais de funções racionais quebrando o integrando em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais:
2x^3+x^2x(2+x^2)(x-1) = Ax+Bx+C2+x^2+Dx-1
Multiplicamos ambos os lados por x(2+x^2)(x-1) e igualamos coeficientes.

Passo 3

Ao multiplicar, obtemos para o numerador:
2x^3+x^2 = A(2+x^2)(x-1)+(Bx+C)x(x-1)+D,x(2+x^2)
Igualando coeficientes de potências de x surge o sistema:
A + B + D = 2 - A + C - B = 1 2A - C + 2D = 0 -2A = 0
Da última equação vem A=0. Substituindo, achamos
B=1, C=2, D=1

Passo 4

Com os valores em mãos, reescrevemos a integral:
integral 2x^3+x^2x(2+x^2)(x-1),dx = integral x+2x^2+2,dx + integral 1x-1,dx
Agora separamos:
integral xx^2+2,dx + integral 2x^2+2,dx + integral 1x-1,dx
Usamos:
integral xx^2+2,dx = tfrac12ln(x^2+2),
integral 2x^2+2,dx = 2cdot1raiz2arctanl(xraiz2r)=raiz2arctanl(xraiz2r),
integral 1x-1,dx = lnlvert x-1rvert

Passo 5

Somando tudo, obtemos
12ln(x^2+2) + raiz2arctanl(xraiz2r) + lnlvert x-1rvert + C
Para verificar, basta diferenciar esse resultado e conferir que volta ao integrando original.

Passo 6

Ao derivar:
  • de tfrac12ln(x^2+2) vem x/(x^2+2);
  • de raiz2arctan(x/raiz2) vem 2/(x^2+2);
  • de lnlvert x-1rvert vem 1/(x-1).
    Somando, dá
x+2x^2+2 + 1x-1,
o que reagrupado retorna exatamente (2x^3+x^2)/[x(2+x^2)(x-1)].

Resposta

12ln(x^2+2) + raiz2arctanl(xraiz2r) + lnlvert x-1rvert + C

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