Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando a técnica de frações parciais e depois verificar o resultado por diferenciação. Vamos trabalhar com integrais de funções racionais quebrando o integrando em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados por e igualamos coeficientes.
Passo 3
Ao multiplicar, obtemos para o numerador:
Igualando coeficientes de potências de surge o sistema:
Da última equação vem A=0. Substituindo, achamos B=1, C=2, D=1
Passo 4
Com os valores em mãos, reescrevemos a integral:
integral 2x^3+x^2x(2+x^2)(x-1),dx = integral x+2x^2+2,dx + integral 1x-1,dx
Agora separamos:
integral xx^2+2,dx + integral 2x^2+2,dx + integral 1x-1,dx
Usamos:
integral xx^2+2,dx = tfrac12ln(x^2+2),
integral 2x^2+2,dx = 2cdot1raiz2arctanl(xraiz2r)=raiz2arctanl(xraiz2r),
integral 1x-1,dx = lnlvert x-1rvert
Passo 5
Somando tudo, obtemos
12ln(x^2+2) + raiz2arctanl(xraiz2r) + lnlvert x-1rvert + C
Para verificar, basta diferenciar esse resultado e conferir que volta ao integrando original.
Passo 6
Ao derivar:
de tfrac12ln(x^2+2) vem x/(x^2+2);
de raiz2arctan(x/raiz2) vem 2/(x^2+2);
de lnlvert x-1rvert vem 1/(x-1).
Somando, dá
x+2x^2+2 + 1x-1,
o que reagrupado retorna exatamente (2x^3+x^2)/[x(2+x^2)(x-1)].
Resposta
12ln(x^2+2) + raiz2arctanl(xraiz2r) + lnlvert x-1rvert + C