Considere a função
(a) Expresse
na forma
.
(b) Mostre que
não é diferenciável na origem.
© Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas na origem. [Sugestão: use as definições baseadas em limites das derivadas parciais
e
em
.
(b) Mostre que
© Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas na origem. [Sugestão: use as definições baseadas em limites das derivadas parciais
Passo 1
Vamos resolver uma função complexa que vale zero na origem e, para z≠0, é dada por f(z)=z⁵/|z|⁴. O objetivo é (a) escrever f em termos de u(x,y)+i v(x,y), (b) mostrar que f não é diferenciável em z=0 e © verificar que as equações de Cauchy–Riemann se satisfazem em (0,0) usando derivadas parciais por limite.
Passo 2
Para z≠0 usamos coordenadas polares z=r e^{iθ}, com r=\sqrt{x²+y²} e θ=\arctan(y/x). Então
Passo 3
Isso dá em componentes reais
Passo 4
Para testar diferenciabilidade em 0, usamos a definição de derivada:
Passo 5
que depende de θ_h (direção de chegada). Como o valor limite varia com a direção, a derivada não existe em z=0.
Passo 6
Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0) por limite. Como u(0,0)=v(0,0)=0, temos
Passo 7
Como em (0,0) temos ∂u/∂x=1=∂v/∂y e ∂u/∂y=0=−∂v/∂x, as equações de Cauchy–Riemann se satisfazem ali.
Resposta
(a) u(x,y)=\sqrt{x2+y2}\cos!\bigl(5\arctan(y/x)\bigr), v(x,y)=\sqrt{x2+y2}\sin!\bigl(5\arctan(y/x)\bigr).
(b) f não é diferenciável em 0 pois depende da direção θ_h.
© Pelas definições limite, em (0,0) temos ∂u/∂x=1, ∂u/∂y=0, ∂v/∂x=0 e ∂v/∂y=1, logo as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.
(b) f não é diferenciável em 0 pois
© Pelas definições limite, em (0,0) temos ∂u/∂x=1, ∂u/∂y=0, ∂v/∂x=0 e ∂v/∂y=1, logo as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.