Considere a função
f(z)= 0, & z=0 z^5|z^4|, & z neq 0
(a) Expresse f na forma f(z)=u(x, y)+i v(x, y).
(b) Mostre que f não é diferenciável na origem.
© Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas na origem. [Sugestão: use as definições baseadas em limites das derivadas parciais partial u / partial x, partial u / partial y, partial v / partial x e partial v / partial y em (0,0).

Passo 1

Vamos resolver uma função complexa que vale zero na origem e, para z≠0, é dada por f(z)=z⁵/|z|⁴. O objetivo é (a) escrever f em termos de u(x,y)+i v(x,y), (b) mostrar que f não é diferenciável em z=0 e © verificar que as equações de Cauchy–Riemann se satisfazem em (0,0) usando derivadas parciais por limite.

Passo 2

Para z≠0 usamos coordenadas polares z=r e^{iθ}, com r=\sqrt{x²+y²} e θ=\arctan(y/x). Então
f(z)=z^5|z|^4=r^5e^i5θr^4=r,e^i5θ

Passo 3

Isso dá em componentes reais
u(x,y)=rcos(5θ), v(x,y)=rsin(5θ), r=raizx^2+y^2,;θ=arctanyx

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em 0, usamos a definição de derivada:
f(h)h=|h|e^i5θh|h|e^iθh=e^i4θh,

Passo 5

que depende de θ_h (direção de chegada). Como o valor limite varia com a direção, a derivada não existe em z=0.

Passo 6

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0) por limite. Como u(0,0)=v(0,0)=0, temos
  • partial u/partial x(0,0)=limhto0[u(h,0)-0]/h=1
  • partial u/partial y(0,0)=limkto0[u(0,k)-0]/k=0
  • partial v/partial x(0,0)=limhto0[v(h,0)-0]/h=0
  • partial v/partial y(0,0)=limkto0[v(0,k)-0]/k=1

Passo 7

Como em (0,0) temos ∂u/∂x=1=∂v/∂y e ∂u/∂y=0=−∂v/∂x, as equações de Cauchy–Riemann se satisfazem ali.

Resposta

(a) u(x,y)=\sqrt{x2+y2}\cos!\bigl(5\arctan(y/x)\bigr), v(x,y)=\sqrt{x2+y2}\sin!\bigl(5\arctan(y/x)\bigr).
(b) f não é diferenciável em 0 pois f(h)/h=e^i4θh depende da direção θ_h.
© Pelas definições limite, em (0,0) temos ∂u/∂x=1, ∂u/∂y=0, ∂v/∂x=0 e ∂v/∂y=1, logo as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.

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