Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
integral 1a^2-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1a^2-x^2,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para reescrever o integrando numa forma mais simples.

Passo 2

Para fazer a decomposição em frações parciais, escrevemos:
1a^2-x^2=1(a-x)(a+x)=Aa-x+Ba+x

Passo 3

Agora determinamos A e B. Igualando numeradores:
1=A(a+x)+B(a-x)

Passo 4

Para x=a obtemos 1=A(2a), logo A=tfrac12a.
Para x=-a obtemos 1=B(2a), logo B=tfrac12a.

Passo 5

Portanto
1a^2-x^2=12al(1a-x+1a+xr)

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral1a-x,dx=-lnl|a-xr|+C1,
integral1a+x,dx=lnl|a+xr|+C2

Passo 7

Somando e incorporando as constantes em uma só, obtemos
integral1a^2-x^2,dx=12al(-ln|a-x|+ln|a+x|r)+C

Passo 8

Podemos também usar a função arctanh. Lembrando que
arctanh(u)=tfrac12ln1+u1-u,

Passo 9

fazendo u=tfracxa chega-se a
integral1a^2-x^2,dx=1a,arctanhl(xar)+C

Passo 10

Para verificar, diferenciamos a forma tfrac12alnl|tfraca+xa-xr|:
ddxl[tfrac12alntfraca+xa-xr] = 12al(1a+x+1a-xr)=1a^2-x^2
Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

integral 1a^2-x^2,dx=12alnl|a+xa-xr|+C (equivalente a tfrac1aarctanh(x/a)+C).

Exercícios relacionados