Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida . O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para reescrever o integrando numa forma mais simples.
Passo 2
Para fazer a decomposição em frações parciais, escrevemos:
Passo 3
Agora determinamos e . Igualando numeradores:
Passo 4
Para obtemos , logo .
Para obtemos , logo .
Passo 5
Portanto
Passo 6
Integramos termo a termo:
integral1a+x,dx=lnl|a+xr|+C2
Passo 7
Somando e incorporando as constantes em uma só, obtemos
integral1a^2-x^2,dx=12al(-ln|a-x|+ln|a+x|r)+C
Passo 8
Podemos também usar a função arctanh. Lembrando que
arctanh(u)=tfrac12ln1+u1-u,
Passo 9
fazendo u=tfracxa chega-se a
integral1a^2-x^2,dx=1a,arctanhl(xar)+C
Passo 10
Para verificar, diferenciamos a forma tfrac12alnl|tfraca+xa-xr|:
ddxl[tfrac12alntfraca+xa-xr] = 12al(1a+x+1a-xr)=1a^2-x^2
Isso confirma que a primitiva está correta.
Resposta
integral 1a^2-x^2,dx=12alnl|a+xa-xr|+C (equivalente a tfrac1aarctanh(x/a)+C).