As questões 8. a 10. são referentes à equação diferencial yP(1) é sua solução geral. é sua solução homogênea, para e constantes e e são soluções linearmente independentes. é sua solução particular.
Qual o valor de ?
(a) 6 e
(b) 12 e
© 0
(d) 3 e
(e) NDA

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de yP(1) na equação diferencial y''-y=12e^t, onde y=yH+yP é a solução geral, yH a solução homogênea e yP uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz y''-y=0. A equação característica é lambda^2-1=0, cujas raízes são lambda=1 e lambda=-1. Portanto, soluções independentes são y1=e^t e y2=e^-t e yH=C1e^t+C2e^-t.

Passo 3

Para determinar yP usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é 12e^t e e^t já é solução da homogênea (raiz simples), tentamos
yP(t)=Ate^t
Calculamos as derivadas de yP:
yP'=A(1+t)e^t,
yP''=A(2+t)e^t

Passo 4

Substituindo em y''-y=12e^t obtemos:
yP''-yP=A(2+t)e^t - A t e^t = 2A e^t,
e igualando a 12e^t vem 2A=12, logo A=6. Assim
yP(t)=6t e^t

Resposta

6e

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