Calcule os limites:

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar o limite limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x. O conteúdo envolve limites de forma exponencial do tipo (1+a/x)^x e usaremos a definição do número e junto com o logaritmo natural para resolver.

Passo 2

Para facilitar, definimos L = limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln L = limxto+infty x lnl(1+2xr)

Passo 3

Para calcular ln L, escrevemos a expressão como razão e aplicamos a regra de l’Hôpital:
limxto+infty x lnl(1+2xr) = limxto+infty lnl(1+2xr)1/x
As derivadas são
ddxlnl(1+tfrac2xr) = -2x^2(1+2/x), ddx(1/x) = -1x^2
Logo,
limxto+infty-2/(x^2(1+2/x))-1/x^2 = limxto+infty21+2/x = 2
Portanto ln L = 2.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, concluímos que L = e^2. Assim o limite original é e^2.

Resposta

e^2

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