Questão 5: Use a aproximeção linear da função de produção Q=3 K^2 / 3 L^1 / 3 no ponto (100,125) para obter uma aproximação de f(998,128).

Passo 1

A questão pede uma aproximação linear da função de produção Q=3K^2/3L^1/3 no ponto (K0,L0)=(100,125) para estimar f(998,128). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula da aproximação linear (diferencial total).

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais de f(K,L)=3K^2/3L^1/3:
partial fpartial K=2K^-1/3L^1/3,
partial fpartial L=K^2/3L^-2/3

Passo 3

Agora avaliamos f, fK e fL em (100,125). Primeiro,
f(100,125)=3,(100)^2/3,(125)^1/3=3times100^2/3times5=15,100^2/3
Em valor aproximado, 100^2/3=l(100^1/3r)^2=(raiz[3]100)^2approx21.544, logo f(100,125)approx323.16.

Passo 4

As derivadas no ponto ficam
fK(100,125)=2cdot100^-1/3cdot125^1/3=25100^1/3=raiz[3]10approx2.154,
fL(100,125)=100^2/3cdot125^-2/3=100^2/325approx0.8618

Passo 5

Definimos De e De. Pela aproximação linear,
f(998,128)approx f(100,125)+fK(100,125),De

Passo 6

Substituindo os valores numéricos:
f(998,128)approx323.16+2.154times898+0.8618times3approx323.16+1934.4+2.585approx2260.2

Resposta

Aproximação linear de f(998,128) é aproximadamente 2260.2.

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