Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \frac{1}{a{2}-x{2}} d x$
$ \int \frac{1}{a{2}-x{2}} d x$
Passo 1
Estamos resolvendo a integral indefinida
. O conteúdo aqui é integrais de funções racionais, e vamos usar a técnica de frações parciais para integrar.
Passo 2
O denominador é um produto de fatores lineares:
. A gente escreve
e multiplica ambos os lados por
Passo 3
Para encontrar
e
, igualamos coeficientes ou fazemos valores especiais. Se
, fica
, então
. Se
, fica
, então
. Na verdade notamos que
deu positivo e
igual, mas atenção ao sinal: trocando a posição, descobrimos
Passo 4
Agora integramos cada fração:
Passo 5
Subtraindo os dois resultados e juntando constantes,
Passo 6
Para verificar, derivamos o resultado:
e recuperamos o integrando original, então está tudo correto!