Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \frac{1}{a{2}-x{2}} d x$

Passo 1

Estamos resolvendo a integral indefinida integral 1a^2 - x^2,dx. O conteúdo aqui é integrais de funções racionais, e vamos usar a técnica de frações parciais para integrar.

Passo 2

O denominador é um produto de fatores lineares: a^2 - x^2 = (a - x)(a + x). A gente escreve
1a^2 - x^2 = Aa + x + Ba - x
e multiplica ambos os lados por (a + x)(a - x), obtendo
1 = A(a - x) + B(a + x)

Passo 3

Para encontrar A e B, igualamos coeficientes ou fazemos valores especiais. Se x = a, fica 1 = A(0) + B(2a), então B = tfrac12a. Se x = -a, fica 1 = A(2a) + B(0), então A = tfrac12a. Na verdade notamos que B deu positivo e A igual, mas atenção ao sinal: trocando a posição, descobrimos
1a^2 - x^2 = 12acdot1a + x - 12acdot1a - x

Passo 4

Agora integramos cada fração:
integral 12a,dxa + x = 12aln|a + x| + C1, integral 12adxa - x = -12aln|a - x| + C2

Passo 5

Subtraindo os dois resultados e juntando constantes,
integral dxa^2 - x^2 = 12aln|a + x| - 12aln|a - x| + C = 12alnl|a + xa - xr| + C

Passo 6

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl[tfrac12alnl|a + xa - xr|r] = 12acdot1(a + x)/(a - x)cdot(a - x)+(a + x)(a - x)^2 = 1a^2 - x^2
e recuperamos o integrando original, então está tudo correto!

Resposta

integral dxa^2 - x^2 = 12alnl|a + xa - xr| + C

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