As questões 7. a 10. são referentes às funções f(x)=x^2-x+1, g(x)=x^20 e h(x)=x-1.
Qual das alternativas a seguir indica dd x[g(f(x))] efetuado?
(a) 20(x^2-x+1)^19(2 x-1)
(b) 20(x^2-x+1)^19
© 20(2 x-1)^19
(d) 20(x^2-x+1)^19(2 x-1)
(e) NDA

Passo 1

A gente tem as funções f(x)=x²−x+1 e g(x)=x²⁰ e queremos derivar a composição g(f(x)), ou seja g∘f. O conteúdo é a regra da cadeia: pra derivar g(f(x)) precisamos da derivada de g em relação ao argumento vezes a derivada de f.

Passo 2

Vamos chamar u=f(x)=x²−x+1. Primeiro aplicamos a derivada de g(u)=u²⁰ em relação a u. Pela regra da potência: g’(u)=20·u¹⁹.
Em seguida, derivamos f(x)=x²−x+1. Usando a derivada termo a termo temos f’(x)=2x−1.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia: (g∘f)’(x)=g’(u)·f’(x). Isso dá 20·u¹⁹·(2x−1).
Por fim, voltamos a escrever em x, substituindo u por x²−x+1. Ficamos com 20·(x²−x+1)¹⁹·(2x−1).

Resposta

(a) 20(x^2 - x + 1)^19(2x - 1)

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