Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \frac{5}{4+x^{2}} d x$

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular a integral indefinida integral 54+x^2,dx. O conteúdo principal é a fórmula de integração de 1a^2+x^2:
integral dxa^2+x^2 = 1aarctanl(xar) + C
Com isso, vamos aplicar essa ideia para a=2.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 5 para deixar a integral no formato da fórmula:
integral 54+x^2,dx = 5 integral 14+x^2,dx
Agora aplicamos a fórmula com a=2:
integral dx4+x^2 = 12arctanl(x2r) + C
Logo,
5 integral 14+x^2,dx = 5 cdot 12 arctanl(x2r) + C = 52 arctanl(x2r) + C

Passo 3

Para conferir, derivamos o resultado usando a regra da cadeia. Seja F(x)=tfrac52arctanl(tfracx2r). Então
F'(x)=52 cdot 11+(x/2)^2 cdot 12 = 54 cdot 11+x^24 = 54+x^2
Isso coincide com o integrando original, mostrando que a integral está correta.

Resposta

52arctan(tfracx2) + C

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