Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
integral raiz1-(x-1) 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiz1-(x-1)^2,dx. O conteúdo envolve técnicas de substituição e o modelo de integral integral raiza^2-u^2,du.

Passo 2

Fazemos a substituição u=x-1, logo du=dx. A integral em x vira em u:
integral raiz1-(x-1)^2,dx = integral raiz1-u^2,du

Passo 3

Para resolver integral raiz1-u^2,du, usamos substituição trigonométrica: deixe u=sintheta, então du=costheta,dtheta e raiz1-u^2=costheta. Assim a integral vira
integral cos^2theta,dtheta
Usamos a identidade cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta).

Passo 4

Integramos:
integral cos^2theta,dtheta = 12integral(1+cos2theta),dtheta = 12theta + 14sin2theta + C
Voltando a u: theta=arcsin u e sin2theta=2sinthetacostheta=2uraiz1-u^2. Logo a primitiva é
12arcsin u + 12,uraiz1-u^2 + C

Passo 5

Substituindo de volta u=x-1, obtemos
12l(arcsin(x-1)+(x-1)raiz1-(x-1)^2r)+C

Passo 6

Para confirmar, diferenciamos esse resultado usando regra do produto e l(arcsin tr)'=1/raiz1-t^2. O cálculo reconstrói raiz1-(x-1)^2, provando que está correto.

Resposta

12l((x-1)raiz1-(x-1)^2+arcsin(x-1)r)+C

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