Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \sqrt{1+x^{2}} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiz1+x^2,dx e depois confirmar o resultado por diferenciação. O conteúdo envolve integração de uma raiz quadrada de soma de quadrados, e vamos usar substituição hiperbólica (conhecer sinh, cosh e suas relações) para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição hiperbólica x=sinh(t). Então temos dx=cosh(t),dt e\n raiz1+x^2=raiz1+sinh^2(t)=cosh(t)

Passo 3

A integral vira integral raiz1+x^2,dx=integral cosh(t)cdotcosh(t),dt=integral cosh^2(t),dt Para integrar cosh^2(t) usamos a identidade cosh^2(t)=(1+cosh(2t))/2. Portanto\n integral cosh^2(t),dt=integral 1+cosh(2t)2,dt=12integral dt+12integral cosh(2t),dt=t2+sinh(2t)4+C

Passo 4

Voltando a x: temos t=arcsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r) e sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t)=2xraiz1+x^2. Logo a primitiva fica\n t2+sinh(2t)4+C=12lnl(x+raiz1+x^2r)+xraiz1+x^22+C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x)=tfracx2raiz1+x^2+tfrac12lnl(x+raiz1+x^2r). Ao aplicar a regra do produto e a derivada de ln chegamos em F'(x)=raiz1+x^2, confirmando que está correto.

Resposta

x2raiz1+x^2+12lnl(x+raiz1+x^2r)+C

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