Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \sqrt{1+x^{2}} d x$
$ \int \sqrt{1+x^{2}} d x$
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e depois confirmar o resultado por diferenciação. O conteúdo envolve integração de uma raiz quadrada de soma de quadrados, e vamos usar substituição hiperbólica (conhecer
,
e suas relações) para simplificar a integral.
Passo 2
Fazemos a substituição hiperbólica
. Então temos
e\n
Passo 3
A integral vira
Para integrar
usamos a identidade
. Portanto\n
Passo 4
Voltando a
: temos
e
. Logo a primitiva fica\n
Passo 5
Para verificar, derivamos
. Ao aplicar a regra do produto e a derivada de
chegamos em
, confirmando que está correto.