Calcule as integrais usando a regra da substituição ou integração por partes:
integral0^3 1(2 x^2-1)^2 cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3 1l(2x^2-1r)^2,dx
usando substituição ou partes. O conteúdo aqui é análise de integral imprópria, pois precisamos ver se a função tem singularidades no intervalo.

Passo 2

Primeiro, identifico onde o denominador se anula: resolvendo
2x^2-1=0
vem
x=pm1raiz2approxpm0,7071
Note que x=1/raiz2 está dentro do intervalo de integração [0,3], logo a integral é imprópria, com uma descontinuidade no meio.

Passo 3

Para ver se converge, escrevo a integral como soma de duas impropriedades: de 0 até 1/raiz2 e de 1/raiz2 até 3, e analiso o comportamento perto de x=1/raiz2. Perto de a=1/raiz2, seja h=x-a, então
2x^2-1=2(a+h)^2-1=2a^2-1+4ah+2h^2=4ah+2h^2sim C,h
(com C=4aneq0), e
1(2x^2-1)^2sim 1C^2,h^2= racconstante(x-a)^2
Mas é sabido que
integral^a!1(x-a)^2,dxeintegrala!1(x-a)^2,dx
divergem (dão infinito).

Passo 4

Como cada parte perto de x=1/raiz2 diverge, concluímos que a integral imprópria
integral0^3 1l(2x^2-1r)^2,dx
não converge.

Passo 5

Portanto, o valor da integral definida não existe (é divergente).

Resposta

A integral é imprópria e diverge (não converge a um valor finito).

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