Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \sec ^{3} x d x$
$ \int \sec ^{3} x d x$
Passo 1
Resumo da questão: a gente quer calcular a integral indefinida
. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar integração por partes além de conhecer a integral de
.
Passo 2
Escolhi
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Passo 3
Usando
, reescrevemos o segundo integral:
Passo 4
Denotando
, temos
Assim
. Sabemos que
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Passo 5
Para conferir, defina
Diferenciando,
-
.ddx(sec xtan x) = sec xtan^2 x + sec^3 x -
.ddxln|sec x + tan x| = sec xtan x + sec^2 xsec x + tan x = sec x
Portanto
confirmando que está correto.
Passo 6
Concluímos que a integral é dada por