Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
$ \int \sec ^{3} x d x$

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer calcular a integral indefinida integral sec^3 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar integração por partes além de conhecer a integral de sec x.

Passo 2

Escolhi u = sec x e dv = sec^2 x,dx. Então du = sec xtan x,dx e v = tan x. Aplicando integração por partes:
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral tan x,(sec xtan x),dx

Passo 3

Usando tan^2 x = sec^2 x - 1, reescrevemos o segundo integral:
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral sec x,(sec^2 x - 1),dx = sec xtan x - integral sec^3 x,dx + integral sec x,dx

Passo 4

Denotando I = integral sec^3 x,dx, temos
I = sec xtan x - I + integral sec x,dx
Assim 2I = sec xtan x + integral sec x,dx. Sabemos que
integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr| + C
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I = 12l(sec xtan x + lnl|sec x + tan xr|r) + C

Passo 5

Para conferir, defina
F(x) = 12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r)
Diferenciando,
  • ddx(sec xtan x) = sec xtan^2 x + sec^3 x.
  • ddxln|sec x + tan x| = sec xtan x + sec^2 xsec x + tan x = sec x.
    Portanto
F'(x) = 12l(sec xtan^2 x + sec^3 x + sec xr) = 12cdot2sec^3 x = sec^3 x,
confirmando que está correto.

Passo 6

Concluímos que a integral é dada por

Passo 7

Resposta

12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) + C

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