Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usa a fórmula
.
Passo 2
Precisamos escolher funções
e
. Tomamos
(pois sua derivada simplifica) e
. Assim, derivamos e integramos para obter:
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes temos:
Passo 4
Dentro do segundo termo simplificamos a expressão:
Passo 5
Portanto a primitiva fica
Passo 6
Para verificar, derivamos
:
$$\nF’(x)=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^3}{3}\ln x\biggr)-\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)
=\Bigl(x^2\ln x + \frac{x2}{3}\Bigr)-\frac{x2}{3}=x^2\ln x,$$
que coincide com o integrando, confirmando que está correto.
que coincide com o integrando, confirmando que está correto.