Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
integral x^2 ln x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral x^2 ln x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Precisamos escolher funções u e dv. Tomamos u = ln x (pois sua derivada simplifica) e dv = x^2,dx. Assim, derivamos e integramos para obter:
du = 1x,dx e v = integral x^2,dx = x^33.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes temos:

Passo 4

Dentro do segundo termo simplificamos a expressão:

Passo 5

Portanto a primitiva fica

Passo 6

Para verificar, derivamos F(x)=x^33ln x - x^39:
$$\nF’(x)=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^3}{3}\ln x\biggr)-\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)
=\Bigl(x^2\ln x + \frac{x2}{3}\Bigr)-\frac{x2}{3}=x^2\ln x,$$
que coincide com o integrando, confirmando que está correto.

Resposta

x^33ln x - x^39 + C

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