Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta derivando.
integral(3 x+1)(2 x-4) d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida de (3x + 1)(2x - 4) em relação a x. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente a aplicação da propriedade de linearidade e da regra do produto. Para isso, vamos precisar expandir a expressão e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (3x + 1)(2x - 4). Isso significa multiplicar cada termo de um parêntese por cada termo do outro:
(3x + 1)(2x - 4) = 3x cdot 2x + 3x cdot (-4) + 1 cdot 2x + 1 cdot (-4)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
3x cdot 2x = 6x^2
3x cdot (-4) = -12x
1 cdot 2x = 2x
1 cdot (-4) = -4
Então, a expressão expandida fica:
6x^2 - 12x + 2x - 4

Passo 4

Vamos simplificar os termos semelhantes. Observamos que -12x e 2x são termos com x, então somamos eles:
-12x + 2x = -10x
Agora, a expressão simplificada é:
6x^2 - 10x - 4

Passo 5

Agora que temos a expressão expandida e simplificada, podemos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais:
integral (6x^2 - 10x - 4) , dx = integral 6x^2 , dx - integral 10x , dx - integral 4 , dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo passo a passo:
  1. Integral de 6x^2:
integral 6x^2 , dx = 6 cdot x^33 = 2x^3
  1. Integral de -10x:
integral -10x , dx = -10 cdot x^22 = -5x^2
  1. Integral de -4:
integral -4 , dx = -4x

Passo 7

Agora, juntamos as integrais calculadas:
2x^3 - 5x^2 - 4x + C
Onde C é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com integrais indefinidas.

Resposta

A integral indefinida de (3x + 1)(2x - 4) é:
2x^3 - 5x^2 - 4x + C

Exercícios relacionados