Resolva as equações diferenciais abaixo, usando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=x^-2 e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y' + 4y = x^-2e^-2x
usando o método de variação de parâmetros. Para isso, primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e só então construir uma particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0,
cuja raiz dupla é r = -2. Logo, uma base de soluções da homogênea é
y1(x) = e^-2x, y2(x) = x,e^-2x
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^-2x + C2,x,e^-2x

Passo 3

No método de variação de parâmetros assumimos
onde as funções
O Wronskiano de ({y_1,y_2}] é

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(x) = -g(x),y2(x)W(x), u2'(x) = g(x),y1(x)W(x),
onde g(x)=x^-2e^-2x. Assim,
u1'(x) = -x^-2e^-2x,l(xe^-2xr)e^-4x = -x^-1e^-4xe^-4x = -1x,
u2'(x) = x^-2e^-2x,e^-2xe^-4x = x^-2e^-4xe^-4x = 1x^2

Passo 5

Integramos para obter u1, u2:
u1(x) = -integral 1x,dx = -ln|x|, u2(x) = integral 1x^2,dx = -1x
Logo
yp(x) = -ln|x|;e^-2x ;+;l(-tfrac1xr),x,e^-2x = -e^-2xln|x| ;-;e^-2x
Como o termo -e^-2x faz parte da solução homogênea, podemos incorporá-lo em C1. Assim, basta tomar
yp(x) = -e^-2xln|x|

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = C1,e^-2x + C2,x,e^-2x ;-; e^-2xln|x|

Exercícios relacionados