Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva que um ponto
percorre quando o parâmetro
varia de
a
. A matéria envolvida aqui é parametrização de curvas e trigonometria. Para resolver, vamos usar as equações dadas para
e
e transformar isso em uma equação no sistema cartesiano, ou seja, só em termos de
e
, sem o
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações parametrizadas que temos:
Aqui,
está fixo em 2, o que significa que a curva estará sempre no plano
. Como nosso foco é
, vamos trabalhar com as duas primeiras equações para relacionar
e
sem o
.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
e relacionar
e
, podemos usar uma identidade trigonométrica bem conhecida:
Agora, substituímos
e
pelas expressões que temos nas equações de
e
:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
no plano
. Isso representa um círculo com raio 4 localizado no plano
.