Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
l x=4 cos t y=4 sen t z=2 , 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva que um ponto P(x, y) percorre quando o parâmetro t varia de 0 a 2pi . A matéria envolvida aqui é parametrização de curvas e trigonometria. Para resolver, vamos usar as equações dadas para x e y e transformar isso em uma equação no sistema cartesiano, ou seja, só em termos de x e y , sem o t .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações parametrizadas que temos:
x = 4 cos t
y = 4 sin t
z = 2
Aqui, z está fixo em 2, o que significa que a curva estará sempre no plano z = 2 . Como nosso foco é P(x, y) , vamos trabalhar com as duas primeiras equações para relacionar x e y sem o t .

Passo 3

Para eliminar o parâmetro t e relacionar x e y , podemos usar uma identidade trigonométrica bem conhecida:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Agora, substituímos cos t e sin t pelas expressões que temos nas equações de x e y :
( x4 )^2 + ( y4 )^2 = 1
Simplificando:
x^216 + y^216 = 1
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
x^2 + y^2 = 16

Resposta

A equação cartesiana da curva é x^2 + y^2 = 16 no plano z = 2 . Isso representa um círculo com raio 4 localizado no plano z = 2 .

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