Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
e depois verificar a resposta derivando. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de potenciação e entender como integrar funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
multiplicado por
. Lembre-se que
pode ser reescrito como
.
Passo 3
Agora, utilizamos a regra dos expoentes que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
Então, a integral original se torna:
Passo 4
Para integrar
, usamos a regra básica da integração de potências, que é:
onde
é a constante de integração e
.
Passo 5
Aplicando essa regra com
:
Passo 6
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Portanto:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos verificar nossa resposta derivando. Se derivarmos
, devemos obter de volta a função original
.
A derivada de
é:
E a derivada da constante
é zero, então está tudo certo!
Resposta
A integral indefinida é
.