Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta derivando.
integral y^2 raizy d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de y^2 raizy , dy e depois verificar a resposta derivando. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de potenciação e entender como integrar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos y^2 multiplicado por raizy . Lembre-se que raizy pode ser reescrito como y^1/2 .
y^2 cdot raizy = y^2 cdot y^1/2

Passo 3

Agora, utilizamos a regra dos expoentes que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
y^2 cdot y^1/2 = y^2 + 1/2 = y^5/2
Então, a integral original se torna:
integral y^5/2 , dy

Passo 4

Para integrar y^5/2 , usamos a regra básica da integração de potências, que é:
integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1 .

Passo 5

Aplicando essa regra com n = 52 :
integral y^5/2 , dy = y^5/2 + 15/2 + 1 + C
= y^7/27/2 + C

Passo 6

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Portanto:
y^7/27/2 = 27 y^7/2
Então, a integral fica:
27 y^7/2 + C

Passo 7

Agora, vamos verificar nossa resposta derivando. Se derivarmos 27 y^7/2 + C , devemos obter de volta a função original y^5/2 .
A derivada de 27 y^7/2 é:
27 cdot 72 y^7/2 - 1 = y^5/2
E a derivada da constante C é zero, então está tudo certo!

Resposta

A integral indefinida é 27 y^7/2 + C .

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