Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-3 d yd x=8 e^3 x+4 sen(x)
Encontre a função complementar.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem não-homogênea
d^2ydx^2 - 3,dydx = 8e^3x + 4sin(x)
O que nos pedem é a função complementar yc, ou seja, a solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea correspondente, eliminando o termo não-homogêneo:
d^2ydx^2 - 3,dydx = 0

Passo 3

Para resolver essa EDO com coeficientes constantes, montamos a equação característica trocando tfracddx por r:
r^2 - 3r = 0
Fatorando, obtemos
r,(r - 3) = 0 Longrightarrow r1 = 0,; r2 = 3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da parte homogênea é
yc = C1e^r1x + C2e^r2x = C1e^0cdot x + C2e^3x = C1 + C2e^3x

Resposta

yc = C1 + C2e^3x

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