Resolva as equações diferenciais abaixo, usando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+y=sec theta cdot tg theta

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial não homogênea
y'' + y = sectheta;tantheta
usando o método de Variação de Parâmetros. Precisamos primeiro achar as soluções da homogênea associada e depois construir uma solução particular via parâmetros variáveis.

Passo 2

A homogênea é
y'' + y = 0
Duas soluções independentes são
y1(theta) = costheta, y2(theta) = sintheta
O Wronskiano vale
W(theta) = costheta & sintheta -sintheta & costheta = cos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 3

Pelas fórmulas de Variação de Parâmetros, escrevemos
yp = u1(theta),y1(theta) + u2(theta),y2(theta),
com
u1' = -f(theta),y2W, u2' = f(theta),y1W,
onde f(theta)=sectheta,tantheta é o termo não homogêneo.

Passo 4

Calculamos primeiro u1' e u2':
u1' = -sectheta,tantheta cdot sintheta = -sinthetacostheta,sinthetacostheta = -tan^2theta,
u2' = sectheta,tantheta cdot costheta = 1costheta,sinthetacostheta,costheta = tantheta
Agora integramos:
u1(theta) = -integral tan^2theta,dtheta = -integral(sec^2theta - 1),dtheta = -l(tantheta - thetar) = -tantheta + theta,
u2(theta) = integral tantheta,dtheta = -lnl|costhetar|

Passo 5

O particular é
yp = u1,costheta + u2,sintheta = l(-tantheta + thetar)costheta + l(-ln|costheta|r)sintheta
Como tanthetacostheta=sintheta, fica
yp = -sintheta + thetacostheta - sintheta,lnl|costhetar|

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(theta) = C1costheta + C2sintheta + thetacostheta - sintheta - sintheta,lnl|costhetar|
Podemos incorporar o termo -sintheta em C2sintheta, mas deixamos explícito o resultado particular.

Resposta

y(theta) = C1costheta + C2sintheta + thetacostheta - sintheta,lnl|costhetar|

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