Resolva as equações diferenciais abaixo, usando o método de Variação de Parâmetros:
3 y^prime prime-6 y^prime+6 y=e^x sec x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
3,y''-6,y'+6,y = e^xsec x
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar ( 1) resolver a equação homogênea associada e obter um par de soluções fundamentais y1,y2, ( 2) colocar a equação na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y = g(x)
( 3) calcular o Wronskiano W de y1,y2, e ( 4) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para achar uma solução particular yp.

Passo 2

Começamos pela homogênea
3,y''-6,y'+6,y=0
ou, dividindo por 3,
y''-2,y'+2,y=0
A equação característica é
r^2-2r+2=0Longrightarrow r=1pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh=e^xl(C1cos x + C2sin xr)
Escolhemos, então, soluções fundamentais
y1=e^xcos x, y2=e^xsin x

Passo 3

Reescrevemos a EDO na forma
y'' - 2 cdot y' + 2 cdot y = e^x sec x3,
onde g(x) = tfrac13 e^x sec x. Calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^2x
]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1' = -y2,gW, u2' = y1,gW
Substituindo
y2,g = e^xsin xcdote^x3cos x = e^2xsin x3cos x, y1,g = e^xcos xcdote^x3cos x = e^2x3,
então
u1' = -13tan x, u2' = 13
Integramos:
u1 = -13integraltan x,dx = -13l(-lnlvertcos xrvertr) = 13lnlvertcos xrvert,
u2 = 13integral dx = x3

Passo 5

A solução particular é
yp = u1y1 + u2y2 = 13lnlvertcos xrvert;e^xcos x ;+;x3,e^xsin x
Logo a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr) +13e^xcos xlnlvertcos xrvert +13x,e^xsin x

Resposta

y(x)=e^xl(C1cos x + C2sin xr) +13e^xcos xlnlvertcos xrvert +13x,e^xsin x

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