Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2+d yd x=x cos (x)-cos (x)
Encontre a solução geral da EDO não-homogênea utilizando o método do anulador.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea
d^2ydx^2+dydx=xcos x-cos x
O conteúdo é “equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes” e o método será o anulador, ou seja: primeiro achamos a solução complementar, depois um particular do tipo adequado ao termo não-homogêneo.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+y'=0
A característica é
r^2+r=0;Longrightarrow;r(r+1)=0;Longrightarrow;r=0,,-1
Logo a solução complementar é
yc=C1+C2e^-x

Passo 3

O termo não-homogêneo é
f(x)=xcos x-cos x=(x-1)cos x,
que é um polinômio de grau 1 vezes cos x. O anulador mínimo para (x-1)cos x é (D^2+1)^2. Como pm i não são raízes da característica, damos o “palpite”
yp=(a,x+b)cos x+(c,x+d)sin x

Passo 4

Calculamos yp' e yp'' por regra do produto e somamos:
yp''+yp' =l[(c-a)x+(a+2c-b+d)r]cos x +l[-(a+c)x+(c-b-d-2a)r]sin x

Passo 5

Devemos ter
isto é, os coeficientes de
Da terceira equação vem (c=-a]. Substituindo e resolvendo o sistema achamos

Portanto

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=C1+C2e^-x+tfrac12l[(-x+3)cos x+xsin xr]

Exercícios relacionados