Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta derivando.
integral 2+traiz[3]t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: calcular a integral indefinida de 2 + traiz[3]t^2 em relação a t e depois verificar a resposta fazendo a derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração por potências e derivação. Vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar as regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz cúbica de t^2 pode ser escrita como t^2/3, então temos:
integral 2 + traiz[3]t^2 , dt = integral 2 + tt^2/3 , dt

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração para separar os termos:
2 + tt^2/3 = 2t^2/3 + tt^2/3 = 2t^-2/3 + t^1 - 2/3 = 2t^-2/3 + t^1/3
Então, a integral fica:
integral (2t^-2/3 + t^1/3) , dt

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Para integrar t^n, a regra é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para 2t^-2/3:
integral 2t^-2/3 , dt = 2 cdot t^-2/3 + 1-2/3 + 1 = 2 cdot t^1/31/3 = 6t^1/3
  1. Para t^1/3:
integral t^1/3 , dt = t^1/3 + 11/3 + 1 = t^4/34/3 = 34t^4/3

Passo 5

Juntando as integrais dos dois termos, temos:
6t^1/3 + 34t^4/3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos verificar a resposta fazendo a derivada. Se derivarmos 6t^1/3 + 34t^4/3, devemos chegar na expressão original dentro da integral.
  1. Derivada de 6t^1/3:
ddt (6t^1/3) = 6 cdot 13t^-2/3 = 2t^-2/3
  1. Derivada de 34t^4/3:
ddt (34t^4/3) = 34 cdot 43t^1/3 = t^1/3
Somando as derivadas:
2t^-2/3 + t^1/3 = 2 + tt^2/3
Que é exatamente a expressão original dentro da integral, confirmando que nossa solução está correta.

Resposta

A integral indefinida é:
6t^1/3 + 34t^4/3 + C

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