Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta derivando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: calcular a integral indefinida de
em relação a
e depois verificar a resposta fazendo a derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração por potências e derivação. Vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar as regras de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz cúbica de
pode ser escrita como
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos dividir a fração para separar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Para integrar
, a regra é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso aos nossos termos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Juntando as integrais dos dois termos, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos verificar a resposta fazendo a derivada. Se derivarmos
, devemos chegar na expressão original dentro da integral.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando as derivadas:
Que é exatamente a expressão original dentro da integral, confirmando que nossa solução está correta.
Resposta
A integral indefinida é: