Resolva as equações diferenciais abaixo, usando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+4 y=3 cosec 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
y'' + 4y = 3,csc(2x)
usando o método de Variação de Parâmetros.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar primeiro da solução da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 ;Longrightarrow; r = pm 2i
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1cos(2x) + C2sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

No método de Variação de Parâmetros buscamos uma solução particular da forma
yp = u1(x),cos(2x) + u2(x),sin(2x),
com as condições auxiliares
u1'(x),cos(2x) + u2'(x),sin(2x) = 0 e u1'(x),(-2sin(2x)) + u2'(x),(2cos(2x)) = 3,csc(2x)
Em vez de resolver esse sistema direto, usamos as fórmulas
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,
onde y1=cos(2x), y2=sin(2x), g(x)=3,csc(2x) e W é o Wronskiano.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W = cos(2x) & sin(2x) -2sin(2x) & 2cos(2x) = 2l(cos^2(2x)+sin^2(2x)r) = 2

Passo 5

Aplicando as fórmulas:
u1' = -sin(2x),l(3,csc(2x)r)2 = -32, u2' = cos(2x),l(3,csc(2x)r)2 = 32,cot(2x)

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral -32,dx = -32,x + K1, u2(x) = integral 32cot(2x),dx = 32cdot12lnl|sin(2x)r| + K2 = 34lnl|sin(2x)r| + K2
Podemos absorver K1 e K2 nos constantes da solução homogênea, então tomamos K1=K2=0.

Passo 7

A solução particular fica
yp = u1cos(2x) + u2sin(2x) = -32,xcos(2x) + 34lnl|sin(2x)r|;sin(2x)
Portanto a solução geral é
y = yh + yp = C1cos(2x) + C2sin(2x) -32,xcos(2x) + 34sin(2x),lnl|sin(2x)r|

Resposta

boxedy(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) -32,xcos(2x) + 34sin(2x),lnl|sin(2x)r|

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