Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2+8 d yd x=5 x+2 e^-x
Encontre a solução geral da EDO não-homogênea utilizando o método do anulador.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea
d^2ydx^2+8dydx=5x+2e^-x
utilizando o método do anulador. Esse método consiste em achar operadores diferenciais que anulem cada parte do termo não-homogêneo, compor um palpite (ansatz) para a solução particular e depois determinar suas constantes por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
d^2ydx^2+8dydx=0
A equação característica é
r^2+8r=0;Longrightarrow;r(r+8)=0;Longrightarrow;r=0,,-8
Logo a solução complementar é
yc(x)=C1+C2e^-8x

Passo 3

Agora identificamos os termos do lado direito e seus anuladores:
  1. 5x é um polinômio de grau 1, anulado por D^2. Como r=0 já é raiz simples da homogênea, elevamos a multiplicidade em 1 e usamos o palpite
yp1(x)=Ax^2+Bx
  1. 2e^-x é anulado por D+1. Como -1 não é raiz da homogênea, o palpite é o usual
yp2(x)=C,e^-x
A solução particular geral será yp=yp1+yp2.

Passo 4

Determinar A e B em yp1=Ax^2+Bx. Calculamos
yp1'=2Ax+B, yp1''=2A
Substituindo em y''+8y':
yp1''+8yp1'=2A+8(2Ax+B)=16Ax+(2A+8B)
isso deve igualar 5x. Igualando coeficientes:
16A=5, 2A+8B=0
,Logo
A=516, B=-564
Então
yp1(x)=516x^2-564x

Passo 5

Determinar C em yp2=C e^-x. Calculamos
yp2'=-C e^-x, yp2''=C e^-x
Substituindo:
yp2''+8yp2'=C e^-x-8C e^-x=-7C e^-x
isso deve igualar 2e^-x. Logo
-7C=2;Longrightarrow;C=-27,
e
yp2(x)=-27e^-x

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da complementar e da particular:
y(x)=yc(x)+yp1(x)+yp2(x) =C1+C2e^-8x +516x^2-564x -27e^-x

Resposta

boxedy(x)=C1+C2e^-8x +516x^2-564x -27e^-x

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