Dada a EDO não-homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO não-homogênea utilizando o método do anulador.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea
utilizando o método do anulador. Esse método consiste em achar operadores diferenciais que anulem cada parte do termo não-homogêneo, compor um palpite (ansatz) para a solução particular e depois determinar suas constantes por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
Logo a solução complementar é
Passo 3
Agora identificamos os termos do lado direito e seus anuladores:
-
é um polinômio de grau 1, anulado por . Como já é raiz simples da homogênea, elevamos a multiplicidade em 1 e usamos o palpite
-
é anulado por . Como não é raiz da homogênea, o palpite é o usual
A solução particular geral será
.
Passo 4
Determinar
e
em
. Calculamos
Substituindo em
:
isso deve igualar
. Igualando coeficientes:
Então
Passo 5
Determinar
em
. Calculamos
Substituindo:
isso deve igualar
. Logo
e
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da complementar e da particular: