Determine a solução das equações diferenciais a seguir:
\frac{d y}{d x}+y x^{2}=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + x^{2}\,y = x^{2}.
O método padrão é usar fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x)=x^{2}. Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int x^{2}\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x):
\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)\frac{dy}{dx} + x^{2}\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)y = x^{2}\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).
O lado esquerdo agora é a derivada do produto \mu(x)y, pois
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{x^{3}/3}\Bigr)=e^{x^{3}/3}\frac{dy}{dx}+x^{2}e^{x^{3}/3}y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{x^{3}/3}\Bigr)\,dx =\int x^{2}e^{x^{3}/3}\,dx.
No lado direito, fazemos u=\tfrac{x^{3}}{3}, daí du=x^{2}dx, então
\int x^{2}e^{x^{3}/3}\,dx=\int e^{u}\,du=e^{u}+C =e^{x^{3}/3}+C.
Logo
y\,e^{x^{3}/3}=e^{x^{3}/3}+C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y=1 + C\,e^{-x^{3}/3}.

Resposta

y(x)=1 + C\,e^{-x^{3}/3},
em que C é constante arbitrária.

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