Determine a solução das equações diferenciais a seguir:
\frac{d y}{d x}+y \sqrt{x} \operatorname{sen} x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+y\,\sqrt{x}\,\operatorname{sen}x=0.
O conteúdo é EDO linear homogênea de coeficientes em função de x. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=0,
onde
P(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}x.
Para essa EDO homogênea, a solução geral é
y(x)=C\,e^{-\displaystyle\int P(x)\,dx}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante (sem resolvê-lo em forma elementar), isto é
\mu(x)=e^{\displaystyle\int P(x)\,dx} =e^{\displaystyle\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}x\,dx}.
Como \int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}x\,dx não se expressa em funções elementares usuais, mantemos a integral em forma de quadratura.

Passo 4

Logo, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=\frac{C}{\mu(x)} = C\exp\!\Bigl(-\!\displaystyle\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}x\,dx\Bigr),
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=C\exp\!\Bigl(-\!\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}x\,dx\Bigr).

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