& 1 y^prime prime+2 y^prime+2 y=de

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício:
y'' + 2y' + 2y = de
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma função delta de Dirac como termo forçador. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) Ly' = s Y(s) - y(0) Ly = Y(s) Lde
Aplicando isso à nossa equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + 2[s Y(s) - 1] + 2Y(s) = e^-pi s

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
s^2 Y(s) - s + 2s Y(s) - 2 + 2Y(s) = e^-pi s Y(s)(s^2 + 2s + 2) = s + 2 + e^-pi s Y(s) = s + 2s^2 + 2s + 2 + e^-pi ss^2 + 2s + 2

Passo 4

Vamos simplificar a primeira fração. A expressão s + 2s^2 + 2s + 2 = (s + 1) + 1(s + 1)^2 + 1 = s + 1(s + 1)^2 + 1 + 1(s + 1)^2 + 1 pode ser escrita como Le^-at cos(bt) = s + a(s + a)^2 + b^2 Le^-at sin(bt) = b(s + a)^2 + b^2 . Então:
Sabendo que:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
y(t) = e^-t cos(t) + e^-t sin(t) + L^-1e^-pi s(s + 1)^2 + 1
A última parte envolve o atraso devido à função delta, que resulta em um deslocamento no tempo:
L^-1e^-pi s(s + 1)^2 + 1 = u(t - pi) e^-(t - pi) sin(t - pi)

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, temos a solução geral:
y(t) = e^-t cos(t) + e^-t sin(t) + u(t - pi) e^-(t - pi) sin(t - pi)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-t cos(t) + e^-t sin(t) + u(t - pi) e^-(t - pi) sin(t - pi)

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