Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma função delta de Dirac como termo forçador. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Passo 4
Vamos simplificar a primeira fração. A expressão
pode ser escrita como
. Então:
Sabendo que:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
A última parte envolve o atraso devido à função delta, que resulta em um deslocamento no tempo:
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, temos a solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: