Calcule as integrais:
\int_{0}^{e^{3}} \frac{(\ln (x))^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{(\ln(x))^{2}}{x}.
  • O intervalo de integração é [0,e^{3}].
    Observação importante (que afeta a resolução): a função \ln(x) não está definida em x=0, logo a integral é imprópria no limite inferior. Precisamos tratar a integral como um limite:
\int_{0}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = \lim_{a\to 0^{+}} \int_{a}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx.

Passo 2

Técnica que vamos usar: substituição simples. Quando aparece \ln(x) junto com dx/x, a substituição natural é
u=\ln(x).
Explico direitinho:
  • Se u=\ln(x), então du=\dfrac{1}{x}\,dx. Isso significa que \dfrac{dx}{x}=du.
  • As variáveis e o integrando transformam-se de forma direta: \dfrac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = u^{2}\,du.
    Também trocamos os limites:
  • Para x=a (com a>0) temos u=\ln(a).
  • Para x=e^{3} temos u=\ln(e^{3})=3.
    Portanto, para a>0,
\int_{a}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = \int_{\ln(a)}^{3} u^{2}\,du.

Passo 3

Calcular a integral indefinida em u. A primitiva de u^{2} é conhecida: integrar potência é básico:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando para x (substituindo u=\ln(x)), uma primitiva da função original é
F(x)=\frac{(\ln(x))^{3}}{3}+C.
Como verificação rápida: derivando F(x) com regra da cadeia,
F'(x)=\frac{3(\ln x)^{2}}{3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{(\ln x)^{2}}{x},
ou seja, está correto.

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria usando a primitiva. Para a>0,
\int_{a}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = \left.\frac{(\ln(x))^{3}}{3}\right|_{x=a}^{x=e^{3}} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{(\ln(a))^{3}}{3}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9.
Portanto
\int_{a}^{e^{3}} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}\,dx = 9 - \frac{(\ln(a))^{3}}{3}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to 0^{+} para recuperar a integral original:
  • Quando a\to 0^{+}, tem-se \ln(a)\to -\infty.
  • Então (\ln(a))^{3}\to -\infty (potência ímpar preserva o sinal).
  • Logo -\dfrac{(\ln(a))^{3}}{3}\to +\infty.
    Assim
\lim_{a\to 0^{+}}\left(9 - \frac{(\ln(a))^{3}}{3}\right) = +\infty.
Como a integral imprópria diverge para +\infty, não existe um número real finito que seja o valor da integral.

Passo 6

Interpretação e dica prática (para prova, sem drama):
  • Sempre verifique se a integral é imprópria (aqui foi por x=0).
  • A substituição u=\ln(x) é a manobra padrão para integrais do tipo \int (\ln x)^{n}\!/x\,dx. Em geral,
\int \frac{(\ln x)^{n}}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq -1).
  • Neste problema, a transformação leva a \int_{-\infty}^{3} u^{2}\,du, e integrar um polinômio de grau 2 em (-\infty,3] dá divergência (área infinita).

Resposta

A integral é divergente; o valor é +\infty.

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