Calcule as integrais.
\int \cos (3 x)+\frac{1}{2} \operatorname{sen}(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(3x)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(4x)\,dx.
Informações relevantes que temos: é uma integral indefinida (logo o resultado terá constante de integração) e o integrando é a soma de duas funções, \cos(3x) e \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(4x). Não há mais condições; precisamos encontrar uma primitiva para cada termo e somá-las.

Passo 2

Regra útil (e muito simples): a integral é linear. Isso significa que
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e que constantes saem da integral:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Então vamos separar a integral em duas:
\int \cos(3x)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(4x)\,dx = \int \cos(3x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(4x)\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int \cos(3x)\,dx. Uma técnica direta é usar substituição simples. Seja \displaystyle u=3x. Então du=3\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{3}. Substituindo:
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Sabemos que \displaystyle \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C. Logo
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(u)+C = \frac{1}{3}\sin(3x)+C.
Explicação do porquê: a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x); multiplicando por \tfrac{1}{3} corrigimos esse fator 3.

Passo 4

Calcular \displaystyle \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(4x)\,dx. Primeiro fatoramos a constante \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(4x)\,dx.
Usamos substituição análoga: seja \displaystyle v=4x. Então dv=4\,dx, ou dx=\dfrac{dv}{4}. Substituindo:
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \sin(v)\cdot \frac{dv}{4} = \tfrac{1}{8}\int \sin(v)\,dv.
Sabemos que \displaystyle \int \sin(v)\,dv = -\cos(v)+C. Portanto
\tfrac{1}{8}\int \sin(v)\,dv = -\tfrac{1}{8}\cos(v)+C = -\tfrac{1}{8}\cos(4x)+C.
Verificação rápida: derivando -\tfrac{1}{8}\cos(4x) obtemos -\tfrac{1}{8}\cdot(-4)\sin(4x)=\tfrac{1}{2}\sin(4x), que confere.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos (lembrando que podemos juntar as constantes de integração em uma única constante C), obtemos a primitiva geral:
\frac{1}{3}\sin(3x)-\frac{1}{8}\cos(4x)+C.

Passo 6

Pequeno reforço para a prova: o procedimento padrão para integrais do tipo \int \cos(ax)\,dx e \int \sin(ax)\,dx é lembrar que
\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C,\qquad \int \sin(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C,
porque a derivada de \sin(ax) é a\cos(ax) e a derivada de \cos(ax) é -a\sin(ax). Use sempre esse atalho e, se preferir, faça a substituição u=ax para justificar.

Resposta

\frac{1}{3}\sin(3x)-\frac{1}{8}\cos(4x)+C

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