Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos: é uma integral indefinida (logo o resultado terá constante de integração) e o integrando é a soma de duas funções,
e
. Não há mais condições; precisamos encontrar uma primitiva para cada termo e somá-las.
Passo 2
Regra útil (e muito simples): a integral é linear. Isso significa que
e que constantes saem da integral:
Então vamos separar a integral em duas:
Passo 3
Calcular
. Uma técnica direta é usar substituição simples. Seja
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Sabemos que
. Logo
Explicação do porquê: a derivada de
é
; multiplicando por
corrigimos esse fator 3.
Passo 4
Calcular
. Primeiro fatoramos a constante
:
Usamos substituição análoga: seja
. Então
, ou
. Substituindo:
Sabemos que
. Portanto
Verificação rápida: derivando
obtemos
, que confere.
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos (lembrando que podemos juntar as constantes de integração em uma única constante
), obtemos a primitiva geral:
Passo 6
Pequeno reforço para a prova: o procedimento padrão para integrais do tipo
e
é lembrar que
porque a derivada de
é
e a derivada de
é
. Use sempre esse atalho e, se preferir, faça a substituição
para justificar.