Calcule as integrais.
\int\left(3 \operatorname{cossec}^{2}(x)-5 \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(3\operatorname{cossec}^{2}(x)-5\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é a soma de dois termos: 3\operatorname{cossec}^{2}(x) e -5\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x).
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), logo devemos apresentar a antiderivada mais constante de integração C.

Passo 2

Usaremos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes. Aplicando ao nosso caso:
\int\left(3\operatorname{cossec}^{2}(x)-5\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\right)\,dx =3\int \operatorname{cossec}^{2}(x)\,dx -5\int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx.

Passo 3

Agora precisamos lembrar as primitivas (antiderivadas) básicas que aparecem aqui.
  1. Para \operatorname{cossec}^{2}(x) (no TeX: \csc^2 x):
    sabemos que a derivada de \cot x é -\csc^2 x. Para ganhar confiança, derivamos \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(\\\ -\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Portanto, como \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x, a antiderivada de \csc^2 x é
\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C.
  1. Para \operatorname{sec}(x)\tan(x):
    sabemos que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Uma verificação rápida: \operatorname{sec} x = 1/\cos x, então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x\tan x.
Logo a antiderivada é
\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C.

Passo 4

Voltando à integral original e aplicando as primitivas que acabamos de recordar:
3\int \csc^2 x\,dx -5\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx =3\big(-\cot x\big) -5\big(\operatorname{sec} x\big) + C.
Fazendo a multiplicação das constantes:
-3\cot x -5\operatorname{sec} x + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza que não esquecemos sinal):
calculemos a derivada de -3\cot x -5\operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}\big(-3\cot x -5\operatorname{sec} x\big) = -3\cdot\big(-\csc^2 x\big) -5\cdot\big(\operatorname{sec} x\tan x\big) = 3\csc^2 x -5\operatorname{sec} x\tan x,
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-3\cot x -5\operatorname{sec} x + C

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