Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A integranda é a soma de dois termos:
e . - Quer-se a primitiva (integral indefinida), logo devemos apresentar a antiderivada mais constante de integração
.
Passo 2
Usaremos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
onde
e
são constantes. Aplicando ao nosso caso:
Passo 3
Agora precisamos lembrar as primitivas (antiderivadas) básicas que aparecem aqui.
- Para
(no TeX: ):
sabemos que a derivada deé . Para ganhar confiança, derivamos usando a regra do quociente:
Portanto, como
, a antiderivada de
é
- Para
:
sabemos que a derivada deé . Uma verificação rápida: , então
Logo a antiderivada é
Passo 4
Voltando à integral original e aplicando as primitivas que acabamos de recordar:
Fazendo a multiplicação das constantes:
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza que não esquecemos sinal):
calculemos a derivada de :
calculemos a derivada de
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.