Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função cuja derivada seja
.
Passo 2
Regra importante que vamos usar: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a integral da soma em soma de integrais e tirar constantes para fora:
Também lembra que integrar uma expressão constante multiplicando uma função é o mesmo que multiplicar a integral por essa constante:
Passo 3
Vamos integrar a primeira parcela
. Uma forma direta é usar a substituição
. Detalhando:
- Seja
. Então , ou seja .
Substituindo na integral:
Sabemos que a primitiva de
é
. Portanto
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 4
Agora a segunda parcela:
. Usamos a mesma ideia de substituição
.
- Seja
. Então e .
Substituindo:
Lembre a primitiva de
: é
, porque
. Assim
Voltando para
(
):
Passo 5
Agora juntamos as duas primitivas obtidas. Somando os resultados das integrais (e agrupando as constantes
e
numa única constante
):
É sempre aceitável combinar constantes de integração distintas em uma só constante final.
Passo 6
Cheque rápido por derivação (verificação): derive
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:, que é exatamente o integrando. Tudo correto!