Calcule as integrais.
\int \frac{1}{3} e^{3 x}+\operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \left(\frac{1}{3}e^{3x}+\operatorname{sen}(3x)\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: \frac{1}{3}e^{3x} e \operatorname{sen}(3x).
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função cuja derivada seja \frac{1}{3}e^{3x}+\operatorname{sen}(3x).

Passo 2

Regra importante que vamos usar: a integral é linear. Isso significa que podemos separar a integral da soma em soma de integrais e tirar constantes para fora:
\int \left(\frac{1}{3}e^{3x}+\operatorname{sen}(3x)\right)\,dx = \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx + \int \operatorname{sen}(3x)\,dx.
Também lembra que integrar uma expressão constante multiplicando uma função é o mesmo que multiplicar a integral por essa constante:
\int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx.

Passo 3

Vamos integrar a primeira parcela \frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx. Uma forma direta é usar a substituição u=3x. Detalhando:
  • Seja u=3x. Então du=3\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{3}.
    Substituindo na integral:
\frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\int e^{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{9}\int e^{u}\,du.
Sabemos que a primitiva de e^{u} é e^{u}. Portanto
\frac{1}{9}\int e^{u}\,du = \frac{1}{9}e^{u}+C_1.
Voltando à variável x (substituindo u=3x):
\frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{9}e^{3x}+C_1.

Passo 4

Agora a segunda parcela: \int \operatorname{sen}(3x)\,dx. Usamos a mesma ideia de substituição u=3x.
  • Seja u=3x. Então du=3\,dx e dx=\dfrac{du}{3}.
    Substituindo:
\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = \int \sin(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \sin(u)\,du.
Lembre a primitiva de \sin(u): é -\cos(u), porque \dfrac{d}{du}(-\cos u)=\sin u. Assim
\frac{1}{3}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{3}(-\cos u)+C_2 = -\frac{1}{3}\cos u + C_2.
Voltando para x ( u=3x ):
\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)+C_2.

Passo 5

Agora juntamos as duas primitivas obtidas. Somando os resultados das integrais (e agrupando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C):
\int \left(\frac{1}{3}e^{3x}+\operatorname{sen}(3x)\right)\,dx = \frac{1}{9}e^{3x} - \frac{1}{3}\cos(3x) + C.
É sempre aceitável combinar constantes de integração distintas em uma só constante final.

Passo 6

Cheque rápido por derivação (verificação): derive \frac{1}{9}e^{3x} - \frac{1}{3}\cos(3x).
  • Derivada de \frac{1}{9}e^{3x} é \frac{1}{9}\cdot 3 e^{3x} = \frac{1}{3}e^{3x}.
  • Derivada de -\frac{1}{3}\cos(3x) é -\frac{1}{3}\cdot(-\sin(3x))\cdot 3 = \sin(3x).
    Somando: \frac{1}{3}e^{3x}+\sin(3x), que é exatamente o integrando. Tudo correto!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}e^{3x}-\frac{1}{3}\cos(3x)+C

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