Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é o produto de
por
. A variável de integração é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a potência
. A identidade fundamental que usamos é
onde
é qualquer expressão em
. Aqui tomamos
, portanto
Explicando: essa identidade vem da fórmula de cosseno duplo
, isolando
. É útil porque troca uma potência por termos de cosseno de ângulo duplo, que são mais fáceis de integrar quando multiplicados por senos simples.
Passo 3
Substituindo essa identidade na integral, obtemos
Pelo princípio da linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair), podemos escrever
Agora temos duas integrais mais simples:
e
.
Passo 4
A primeira integral é direta. A segunda envolve o produto
. Para essa, usamos a identidade produto-para-soma
válida para quaisquer
. Aplicando com
e
, obtemos
Usamos também que
, então
Passo 5
Substituindo essa expressão na integral original, temos
Agrupando constantes:
Então reduzimos tudo a integrais do tipo
, que são padrão.
Passo 6
A fórmula básica para integrar uma função seno com argumento linear é
onde
é constante (e
é a constante de integração). Aplicando termo a termo:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- Para o terceiro termo:
Passo 7
Somando os três resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva final: