Calcule as integrais:
\int \cos ^{2}(2 x) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}(2x)\,\sin(x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de \cos^{2}(2x) por \sin(x). A variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{2}(2x)\sin(x).

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a potência \cos^{2}(2x). A identidade fundamental que usamos é
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},
onde \theta é qualquer expressão em x. Aqui tomamos \theta=2x, portanto
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Explicando: essa identidade vem da fórmula de cosseno duplo \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1, isolando \cos^{2}\theta. É útil porque troca uma potência por termos de cosseno de ângulo duplo, que são mais fáceis de integrar quando multiplicados por senos simples.

Passo 3

Substituindo essa identidade na integral, obtemos
\int \cos^{2}(2x)\,\sin(x)\,dx = \int \frac{1+\cos(4x)}{2}\,\sin(x)\,dx.
Pelo princípio da linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair), podemos escrever
\int \frac{1+\cos(4x)}{2}\,\sin(x)\,dx = \frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx + \frac{1}{2}\int \sin(x)\cos(4x)\,dx.
Agora temos duas integrais mais simples: \frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx e \frac{1}{2}\int \sin(x)\cos(4x)\,dx.

Passo 4

A primeira integral é direta. A segunda envolve o produto \sin(x)\cos(4x). Para essa, usamos a identidade produto-para-soma
\sin a\cos b=\frac{1}{2}\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big),
válida para quaisquer a,b. Aplicando com a=x e b=4x, obtemos
\sin(x)\cos(4x)=\frac{1}{2}\big(\sin(5x)+\sin(-3x)\big).
Usamos também que \sin(-\theta)=-\sin(\theta), então
\sin(x)\cos(4x)=\frac{1}{2}\big(\sin(5x)-\sin(3x)\big).

Passo 5

Substituindo essa expressão na integral original, temos
\frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx + \frac{1}{2}\int \sin(x)\cos(4x)\,dx = \frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{2}\big(\sin(5x)-\sin(3x)\big)\,dx.
Agrupando constantes:
= \frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx + \frac{1}{4}\int \sin(5x)\,dx - \frac{1}{4}\int \sin(3x)\,dx.
Então reduzimos tudo a integrais do tipo \int \sin(kx)\,dx, que são padrão.

Passo 6

A fórmula básica para integrar uma função seno com argumento linear é
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C,
onde k é constante (e C é a constante de integração). Aplicando termo a termo:
  1. Para o primeiro termo:
\frac{1}{2}\int \sin(x)\,dx = \frac{1}{2}\left(-\cos(x)\right) = -\frac{1}{2}\cos(x).
  1. Para o segundo termo:
\frac{1}{4}\int \sin(5x)\,dx = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right)= -\frac{1}{20}\cos(5x).
  1. Para o terceiro termo:
-\frac{1}{4}\int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right)= +\frac{1}{12}\cos(3x).

Passo 7

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva final:
-\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{20}\cos(5x)+\frac{1}{12}\cos(3x)+C.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cos(x)-\dfrac{1}{20}\cos(5x)+\dfrac{1}{12}\cos(3x)+C

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