Calcule as integrais:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{\operatorname{sen}\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são simétricos em torno de 0: -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}.
  • O integrando é a função f dada por
f(x)=\frac{x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}.
  • Não há outras informações explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos revisar um conceito essencial que será usado: paridade de funções (é uma ferramenta poderosa para integrais em intervalos simétricos).
Definições:
\text{Uma função } g \text{ é par se } g(-x)=g(x)\text{ para todo }x.çãé
\text{Uma função } h \text{ é ímpar se } h(-x)=-h(x)\text{ para todo }x.çãéí
Exemplos rápidos para fixar:
  • x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
  • x^{3} é ímpar porque (-x)^{3}=-x^{3}.
  • Se u(x) é par, então u(x)+u(-x)=2u(x) (coisa óbvia, só para ver comportamento).
    Uma propriedade prática que usaremos: o quociente de uma função ímpar por uma função par (quando bem definido) é ímpar. Vou mostrar isso com nosso integrando.

Passo 3

Analisando o numerador e o denominador separadamente:
  • O numerador x^{3} é ímpar, pois
(-x)^{3}=-x^{3}.
  • O denominador é \sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right). Observe que a função g(x)=\frac{x^{2}}{2}+1 é par, porque
g(-x)=\frac{(-x)^{2}}{2}+1=\frac{x^{2}}{2}+1=g(x).
Logo, por composição, a função x\mapsto \sin(g(x)) satisfaz
\sin\!\big(g(-x)\big)=\sin\!\big(g(x)\big),
ou seja, \sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right) é uma função par (mesmo que \sin isoladamente seja ímpar, aqui estamos compondo \sin com uma função par; o resultado é par).

Passo 4

A partir do que vimos, o integrando f(x) é o quociente de uma função ímpar por uma função par (e o denominador não é zero no intervalo — vou justificar isso no próximo passo). Vamos verificar a paridade de f explicitamente:
f(-x)=\frac{(-x)^{3}}{\sin\!\left(\frac{(-x)^{2}}{2}+1\right)}=\frac{-x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}=-\frac{x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}=-f(x).
Portanto f é ímpar.

Passo 5

Antes de aplicar o resultado sobre integrais de funções ímpares, precisamos garantir que f está bem definida (sem singularidades) no intervalo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]: isto é, verificar se \sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)\neq 0 para todo x do intervalo.
Para x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] temos
0\le x^{2}\le\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\quad\Rightarrow\quad 1\le \frac{x^{2}}{2}+1\le 1+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}.
Calculando numericamente (apenas para ver limites):
1+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=1+\frac{\pi^{2}}{8}\approx 1+1,2337\approx 2,2337.
Portanto o argumento \frac{x^{2}}{2}+1 varia dentro do intervalo [1,\;2,2337], que está contido em (0,\pi) e não contém pontos onde \sin se anula (lembre: \sin t=0 só em t=k\pi, e k\pi para k\in\mathbb{Z} não aparece nesse intervalo). Conclusão: \sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)\neq 0 para todo x do intervalo, então f é contínua e bem definida em \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Passo 6

Teorema útil (e simples) que vamos aplicar: se f é função ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Prova rápida (muuito prática): usando a substituição u=-x,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Para o primeiro termo, faça x=-t (ou simplesmente use a paridade):
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = -\int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Como f é ímpar, f(-t)=-f(t). Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} (-f(t))\,dt = \int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Portanto os dois termos se cancelam:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
(O raciocínio acima é uma forma prática; muitas apresentações mostram direto que \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 quando f é ímpar.)

Passo 7

Aplicando o teorema ao nosso caso: como já mostramos que
f(x)=\frac{x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}
é ímpar e é integrável em \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], segue imediatamente que
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)}\,dx = 0.

Resposta

0

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