Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são simétricos em torno de
: e . - O integrando é a função
dada por
- Não há outras informações explícitas no enunciado.
Passo 2
Vamos revisar um conceito essencial que será usado: paridade de funções (é uma ferramenta poderosa para integrais em intervalos simétricos).
Definições:
Exemplos rápidos para fixar:
-
é par porque . -
é ímpar porque . - Se
é par, então (coisa óbvia, só para ver comportamento).
Uma propriedade prática que usaremos: o quociente de uma função ímpar por uma função par (quando bem definido) é ímpar. Vou mostrar isso com nosso integrando.
Passo 3
Analisando o numerador e o denominador separadamente:
- O numerador
é ímpar, pois
- O denominador é
. Observe que a função é par, porque
Logo, por composição, a função
satisfaz
ou seja,
é uma função par (mesmo que
isoladamente seja ímpar, aqui estamos compondo
com uma função par; o resultado é par).
Passo 4
A partir do que vimos, o integrando
é o quociente de uma função ímpar por uma função par (e o denominador não é zero no intervalo — vou justificar isso no próximo passo). Vamos verificar a paridade de
explicitamente:
Portanto
é ímpar.
Passo 5
Antes de aplicar o resultado sobre integrais de funções ímpares, precisamos garantir que
está bem definida (sem singularidades) no intervalo
: isto é, verificar se
para todo
do intervalo.
Para
temos
Calculando numericamente (apenas para ver limites):
Portanto o argumento
varia dentro do intervalo
, que está contido em
e não contém pontos onde
se anula (lembre:
só em
, e
para
não aparece nesse intervalo). Conclusão:
para todo
do intervalo, então
é contínua e bem definida em
.
Passo 6
Teorema útil (e simples) que vamos aplicar: se
é função ímpar e integrável em
, então
Prova rápida (muuito prática): usando a substituição
,
Para o primeiro termo, faça
(ou simplesmente use a paridade):
Como
é ímpar,
. Assim
Portanto os dois termos se cancelam:
(O raciocínio acima é uma forma prática; muitas apresentações mostram direto que
quando
é ímpar.)
Passo 7
Aplicando o teorema ao nosso caso: como já mostramos que
é ímpar e é integrável em
, segue imediatamente que
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