Calcule as integrais:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas: o integrando é o produto de potências ímpares de seno e cosseno, especificamente
e
. Os limites de integração vão de
até
.
Passo 2
Ideia do método (explicada sem resolver ainda): quando temos produto de potências de seno e cosseno com expoentes ímpares, há várias estratégias. Uma estratégia muito simples e direta aqui é usar a identidade da função dupla:
que nos permite escrever
em termos de
. Como ambos os expoentes são ímpares e iguais (
e
), podemos agrupar
e expressar todo o integrando como potência de
, o que simplifica bastante.
Passo 3
Usando a identidade
obtemos
Portanto
Passo 4
Substituímos essa expressão na integral:
Agora fazemos a mudança de variável
. Então
ou
. Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Uma forma direta para potências ímpares é separar um
e usar a substituição
. Escrevemos
Aqui usei que
, então
.
Passo 6
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 7
Expandimos o polinômio e integramos termo a termo. Primeiro
Portanto
Calculamos cada integral (note que as funções
e
são pares, então
):
Calculemos explicitamente:
Passo 8
Substituindo esses valores em
calculamos:
Logo
Passo 9
Voltando à integral original, lembramos que tínhamos o fator
: