Calcule as integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{5}(x) \cos ^{5}(x) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de potências ímpares de seno e cosseno, especificamente \operatorname{sen}^{5}(x) e \cos^{5}(x). Os limites de integração vão de 0 até \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Ideia do método (explicada sem resolver ainda): quando temos produto de potências de seno e cosseno com expoentes ímpares, há várias estratégias. Uma estratégia muito simples e direta aqui é usar a identidade da função dupla:
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
que nos permite escrever \sin x\cos x em termos de \sin(2x). Como ambos os expoentes são ímpares e iguais ( 5 e 5), podemos agrupar \sin x\cos x e expressar todo o integrando como potência de \sin(2x), o que simplifica bastante.

Passo 3

Usando a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x obtemos
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Portanto
\sin^{5}x\cos^{5}x=(\sin x\cos x)^{5}=\left(\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right)^{5}=\tfrac{1}{32}\sin^{5}(2x).

Passo 4

Substituímos essa expressão na integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}x\cos^{5}x\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tfrac{1}{32}\sin^{5}(2x)\,dx=\tfrac{1}{32}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{5}(2x)\,dx.
Agora fazemos a mudança de variável u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\tfrac{1}{2}du. Os limites mudam: quando x=0 temos u=0; quando x=\tfrac{\pi}{2} temos u=\pi. Assim
\tfrac{1}{32}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{5}(2x)\,dx=\tfrac{1}{32}\cdot\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du=\tfrac{1}{64}\int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du.

Passo 5

Agora precisamos calcular \int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du. Uma forma direta para potências ímpares é separar um \sin u e usar a substituição t=\cos u. Escrevemos
\sin^{5}u=\sin^{4}u\cdot\sin u=(1-\cos^{2}u)^{2}\sin u.
Aqui usei que \sin^{2}u=1-\cos^{2}u, então \sin^{4}u=(\sin^{2}u)^{2}=(1-\cos^{2}u)^{2}.

Passo 6

Fazemos a substituição t=\cos u. Então dt=-\sin u\,du, ou seja \sin u\,du=-dt. Os limites: quando u=0 temos t=\cos 0=1; quando u=\pi temos t=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du=\int_{0}^{\pi}(1-\cos^{2}u)^{2}\sin u\,du=\int_{1}^{-1}(1-t^{2})^{2}(-dt)=\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{2}\,dt.

Passo 7

Expandimos o polinômio e integramos termo a termo. Primeiro
(1-t^{2})^{2}=1-2t^{2}+t^{4}.
Portanto
\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{2}\,dt=\int_{-1}^{1}1\,dt-2\int_{-1}^{1}t^{2}\,dt+\int_{-1}^{1}t^{4}\,dt.
Calculamos cada integral (note que as funções t^{2} e t^{4} são pares, então \int_{-1}^{1}t^{k}\,dt=2\int_{0}^{1}t^{k}\,dt):
Calculemos explicitamente:
\int_{-1}^{1}1\,dt=[t]_{-1}^{1}=1-(-1)=2,
\int_{-1}^{1}t^{2}\,dt=\left[\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\tfrac{1}{3}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{2}{3},
\int_{-1}^{1}t^{4}\,dt=\left[\tfrac{t^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\tfrac{1}{5}-\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{2}{5}.

Passo 8

Substituindo esses valores em
\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{2}\,dt=2-2\cdot\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{5}
calculamos:
2- \tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{30}{15}-\tfrac{20}{15}+\tfrac{6}{15}=\tfrac{16}{15}.
Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du=\tfrac{16}{15}.

Passo 9

Voltando à integral original, lembramos que tínhamos o fator \tfrac{1}{64}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{5}x\cos^{5}x\,dx=\tfrac{1}{64}\int_{0}^{\pi}\sin^{5}u\,du=\tfrac{1}{64}\cdot\tfrac{16}{15}=\tfrac{16}{960}=\tfrac{1}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{60}

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